얽힘은 전이 적인가?

수학적 의미에서 얽힘은 전이 적인가 ?

더 구체적으로, 내 질문은 이것입니다 :

3 큐 비트 $q_1, q_2$ 및 고려하십시오 $q_3$ . 그 가정

$q_1$ 과 $q_2$ 는 얽혀 있고
$q_2$ 와 $q_3$ 은 얽혀 있습니다

그런 다음 이다 $q_1$ 과 $q_3$ 얽혀 ? 그렇다면 왜 그렇습니까? 그렇지 않은 경우 구체적인 반대 사례가 있습니까?

얽힘에 대한 나의 생각에 :

큐빗 $q_1$ 및 $q_2$ 아웃 후에 추적 경우 교락 $q_3$ 은 qbits $q_1$ 및 $q_2$ 교락은 (트레이스 아웃 $q_3$ 측정에 대응한다 $q_3$ 및 결과들을 폐기).
큐빗 및 아웃 후에 추적 경우 교락 은 qbits의 및 교락. $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$
큐빗 과 은 얽히고, 추적 한 후에 비트 과 은 얽히게됩니다. $q_1$ $q_3$ $q_2$ $q_1$ $q_3$

그 개념을 명확하게 언급하는 한, 다른 합리적인 얽힘 개념 (위의 설명은 아님)을 자유롭게 사용하십시오.

entanglement

— 베드로
소스

마지막 진술을 확인할 수 있습니까? 귀하의 질문 후, 비슷한 진술을 기대했지만 레이블이 다른 순서로 표시되었습니다 (q2를 측정 한 후 q1과 q3의 얽힘에 대한 진술).

— agaitaarino

@agaitaarino "얽힘"부분을 업데이트했습니다. 이제 더 명확 해져야합니다 ...

— Peter

나는 주어진 정사각형 요소에 대한 확률이 상호 의존적이라는 점에서 라틴 정사각형을 임의의 1 차원 배열에 대한 요소가 "얽힌"확률 매트릭스로 간주했습니다. 치수를 추가하면 해당 1 차원 배열이 다른 1 차원 배열과 직교하여 "얽힘"을 확장합니다. (내 생각 엔 하나가 다시 얻을 수있는이까지 잡초 아웃 약이다 : 비정형 개념의 얽힘,하지만 난 QT와 라틴 사각형 / 스도쿠 사이의 아이디어 몇 가지 "정신 유사성"을 제기 한 최초의 사람이 아닙니다.) 감사 이 질문에 대한 당신!

— DukeZhou

이제 당신이 측정 결과를 폐기하는 것을 명확히 한 것으로,이는 없습니다 당신이에 대해, 그것은 더 많은 표준 개념이 얘기했다 생각하는 지역화 얽힘 그것은 측정 대신 여분의 큐 비트를 "밖으로 추적"에 대해 더 토론의 ... 및 결과를 폐기하는 단계.

— DaftWullie

트윗 담아 가기 이에 따라 질문을 업데이트했습니다

— Peter

답변:

TL; DR : 한 쌍의 큐빗에서 엉킴을 측정하는 방법에 따라 다릅니다. 여분의 큐 비트를 추적하면 "아니오"입니다. 큐 비트를 측정하는 경우 (최적의 측정 기준을 자유롭게 선택할 수 있음) "예"입니다.

하자 경우 우리는 A와 B가 얽혀 있다고 말할 것이다 A, B와 C 표시된 3 큐빗의 순수한 양자 상태가 될 의 작용하에 긍정적 아니다 부분 전치 맵. 이것은 2 큐 비트 시스템에서 얽힘을 감지하기위한 필요하고 충분한 조건입니다. 부분 트레이스 형식은 큐 비트 C를 임의로 측정하고 결과를 버리는 것과 같습니다. $|\Psi\rangle$ $\rho_{AB}=\text{Tr}_C(|\Psi\rangle\langle\Psi|)$

얽힘이 보여 반례의 클래스있다 전이 아닌 형태의이 제공

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 1 ϕ ϕ ⟩),

$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|1\phi\phi\rangle),$

. qubit

또는 qubit

를 추적하면 동일한 밀도 매트릭스를 두 번 얻을 수 있습니다.

| ϕ ⟩ \neq | 0 ⟩, | 1 ⟩

$|\phi\rangle\neq |0\rangle,|1\rangle$

B

$B$

C

$C$

당신은 부분 전치 걸릴 수 있습니다 이것의 (첫 번째 시스템에서 그것을 취하는 것이 가장 깨끗합니다) :

ρ_{A C} = ρ_{A B} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 00 ⟩ ⟨ 1 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 00 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho_{AC}=\rho_{AB}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|00\rangle\langle 1\phi|\langle\phi|0\rangle+|1\phi\rangle\langle 00|\langle0|\phi\rangle\right)$

이제 결정을 (어떤 고유 값의 곱과 같습니다). 당신은

얻는다

ρ^{P T} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 10 ⟩ ⟨ 0 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 0 ϕ ⟩ ⟨ 10 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho^{PT}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|10\rangle\langle 0\phi|\langle\phi|0\rangle+|0\phi\rangle\langle 10|\langle0|\phi\rangle\right)$

음, 그래서 음의 고유 값이 있어야합니다. 따라서

및

는 얽힌 쌍입니다. 한편

det (ρ^{P T}) = - \frac{1}{16} | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2} (1 - | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2})^{2},

$\text{det}(\rho^{PT})=-\frac{1}{16}|\langle 0|\phi\rangle|^2(1-|\langle 0|\phi\rangle|^2)^2,$

(A B)

$(AB)$

(A C)

$(AC)$

이것은 유효한 밀도 매트릭스이므로 음이 아닙니다. 그러나 부분 조옮김은 그 자체와 같습니다. 따라서 음의 고유 값이없고

가 얽 히지 않습니다.

ρ_{B C} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | ϕ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ϕ |) .

$\rho_{BC}=\frac12(|00\rangle\langle 00|+|\phi\phi\rangle\langle\phi\phi |).$

(B C)

$(BC)$

현지화 가능한 얽힘

대신 지역화 가능한 얽힘 에 대해 이야기 할 수 있습니다 . 더 명확하게 설명하기 전에 이것이 OP가 말한 것으로 생각한 것입니다. 이 경우 큐 비트를 추적하는 대신 선택한 기준에 따라 큐 비트를 측정하고 각 측정 결과에 대해 개별적으로 결과를 계산할 수 있습니다. (나중에 평균화 프로세스가 있지만 여기서는 관련이 없습니다.)이 경우 제 답변은 혼합 상태가 아닌 순수한 상태에 대한 것입니다.

여기서 핵심은 서로 다른 종류의 얽힌 상태가 있다는 것입니다. 3 큐 비트의 경우 6 가지 유형의 순수한 상태가 있습니다.

완전히 분리 가능한 상태
두 당사자 사이에 얽힌 상태와 세 번째에 분리 가능한 상태가있는 3 가지 유형
W 국
GHZ 상태

모든 유형의 양자 상태는 로컬 측정 및 당사자 간의 고전적인 통신을 통해 각 클래스의 표준 대표 중 하나로 변환 할 수 있습니다. 의 조건에 유의하십시오. $(q_1,q_2)$ $(q_2,q_3)$

| W ⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ + | 010 ⟩ + | 100 ⟩) | G H Z ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 111 ⟩)

$|W\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}(|001\rangle+|010\rangle+|100\rangle)\qquad |GHZ\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|111\rangle)$

— 다 프트 울리
소스

고마워, 이것은 이미 많은 것을 정리합니다. 얽힘의 "표준"척도를 알려주시겠습니까? 내 질문에 명시 적으로 사용하고 싶을 수도 있습니다.

— Peter

@Peter : 편집 된 버전이 더 많은 도움이되는지 확인하십시오.

— DaftWullie

이 답변에 감사드립니다! 이런 맥락에서 대칭에 대해 순진한 질문을 할 수 있습니까? "대표자는 입자 교환시 대칭입니다." (저는 일반적으로 다른 대칭 개념에 관심이 있습니다.)

— DukeZhou

@DaftWullie : 귀하의 답변이 "아니오, 얽힘이 3 큐 비트 시스템에서도 전이되지 않습니다"로 보이면 아마도 좀 더 분명하게 대답하기 위해 답을 정리해야합니까?

— Niel de Beaudrap

{SWAP}_{A, B} | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩

$\text{SWAP}_{A,B}|\Psi\rangle=|\Psi\rangle$

이것은 대답이 아니라 이러한 유형의 질문에 대해 "잘못된"영역을 피하기 위해 알아야 할 몇 가지 배경 사실입니다.

"엉킴"은 전부가 아닙니다. "q1이 q2와 얽혀 있고 q2가 q3과 얽혀있다"는 것은 "q3을 측정하면 q1이 q2와 여전히 얽히게됩니까?"와 같은 질문에 대한 답을 결정하기에 충분한 정보가 아닙니다. 더 큰 시스템을 다룰 때는 얽힘이 복잡해집니다 . 특정 상태, 측정 및 측정 결과를 조절할 수 있는지 여부를 알아야합니다.

q1, q2, q3이 그룹으로 얽혀있는 경우가있을 수 있지만 큐 비트 중 하나를 추적하면 나머지 두 개의 밀도 매트릭스는 단순히 고전적으로 상관 된 상태를 나타냅니다. (예 : GHZ 상태에서 발생합니다.)

당신은 얽힘 의 일부일처를 알고 있어야합니다 . 특정 임계 값을지나 q1과 q2 사이의 얽힘 강도를 증가 시키면 q1과 q3 사이의 얽힘 강도 (및 동등하게 q2와 q3)를 줄여야합니다.

— 크레이그 거 드니
소스

얽힘의 일부일처 제를 지적 해 주셔서 감사합니다!

— agaitaarino

「아가씨」와 Von Neumann의 엔트로피로 연결되는 @agaitaarino!

— DukeZhou

나는 3 큐빗 얽힘의 Freudenthal triple classication 에서 다음을 읽습니다 .

"Dür et al. ( 3 개의 큐비 트는 2 개의 등가의 방식으로 얽힐 수 있음 ) 감소 된 밀도 매트릭스의 랭크의 보존에 관한 간단한 인수를 사용했습니다.

Null (소실 상태에 해당하는 사소한 제로 얽힘 궤도)
분리 가능 (완전 분해 할 수있는 제품 상태를위한 또 다른 제로 얽힘 궤도)
Biseparable (3 가지 이분자 얽힘 : A-BC, B-AC, C-AB)
W (종 유형 불평등을 최대로 위반하지 않는 3 방향 얽힌 상태) 및
GHZ (벨 유형 불평등을 최대로 위반)

내가 이해 한대로 귀하의 질문에 대한 대답은 그렇습니다 .

— 아가 이타 리노
소스