Holevo 정보 불평등 증명

클래식 클래식 양자 채널 가 있다고 가정합니다 여기서 는 유한 집합이고 은 유한 차원의 복잡한 Hilbert 공간 의 밀도 행렬 집합입니다 .$W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$$\mathcal{X},\mathcal{Y}$$\mathcal{D}(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$

가 의 균일 분포 이고 가 의 균일 분포 라고 가정 합니다. 분포가 더 정의 에 및 에 상기 Holevo 정보 $p_x$$\mathcal{X}$$p_y$$\mathcal{Y}$$p_1$$\mathcal{X}$$p_2$$\mathcal{Y}$

$$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$$

여기서 는 폰 노이만 엔트로피입니다.$H$

나는 들어 보여 드리고자합니다 , \ chi (p_1, p_2, W) \ geq \ chi (p_1, p_y, W) \ text {및} \ chi (p_1, p_2, W) \ geq \ chi (p_x , p_2, W).

$$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$$ $$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$$

지금까지 나는 그 진술이 처음에 참되다는 것을 아직 확신하지 못했다. 나는 이것을 증명하는 데별로 진전을 이루지 못했지만 삼각형 불평등이 주장을 확인할 수있는 것처럼 보입니다.

성명서를 보유해야하는지에 대한 제안과이를 입증하는 방법에 대한 팁을 주셔서 감사합니다.

그 진술은 일반적으로 사실이 아닌 것 같습니다. 가정 , 하나의 큐 비트에 대응하는 힐베르트 공간이고, 로 정의 경우 균일 한 분포에 대한 최적의 선택이다 있다 및 준다 , 최대, 어느 가능한 가치. ( 을 정의한다고 가정합니다.$X = Y = \{0,1\}$$\mathcal{H}$$W$

$$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$$ $p_y$$p_1$$p_1(0) = 1$$p_1(1) = 0$$\chi(p_1,p_y,W) = 1$$p_1$및 경우 그 표현의 argmax 아닌 supremum 등.) 마찬가지로 균일하다 및 최적이며,이 값은 동일하다. 그러나 이므로 부등식은 유지되지 않습니다.$p_2$$p_x$$p_2(0) = 1$$p_2(1) = 0$$\chi(p_1,p_2,W) = 0$