n 비트 입력을 퍼 뮤트 (재 셔플)하는 방법은 무엇입니까?

나는 n 비트 시퀀스를 입력으로 가져 오고이 n 비트 시퀀스의 재구성 된 (순환 된) 버전을 출력으로 생성하는 양자 알고리즘에 관심이 있습니다.

예를 들어 입력이 0,0,1,1 (이 경우 n = 4)이면 가능한 대답은 다음과 같습니다.

• 0,0,1,1
• 0,1,0,1
• 0,1,1,0
• 1,0,0,1
• 1,0,1,0
• 1,1,0,0

가능한 모든 유효한 출력 중에서 무작위로 선택된 하나의 출력 만 생성해야합니다.

어떻게 양자 알고리즘 에서 가장 잘 구현 될 수 있습니까?

이에 대한 해결책은 이미 동일한 수의 1 비트로 2 개의 n 비트 시퀀스를 생성하는 양자 알고리즘을 만드는 방법에 대한 답변 중 하나의 일부로 이미 제안되었습니다 . . 그러나이 솔루션의 문제점은 약 $\binom{n}2$ 도움말 큐 비트가 필요하다는 것입니다. 이는 n이 클 경우 빠르게 커집니다.

노트 :

• 클래식 알고리즘의 단계를 범용 양자 컴퓨터에 매핑하는 방법에 대한 설명없이 클래식 알고리즘을 제공하지 마십시오.
• 나를 위해 "가능한 모든 좋은 결과물 중에서 무작위로 선택됨" 을 해석하는 두 가지 좋은 방법이 있습니다. (2) 가능한 모든 좋은 산출물은> 0을 선택할 확률이있다.

다음 줄을 따라 추가 큐 비트를 사용하여 수행 할 수 있습니다 .$\lceil\log n\rceil$

1. 추가 큐 비트 를 무작위로 균일하게 선택한 숫자 을 인코딩하도록 변환합니다 .$k\in\{0,\ldots,n-1\}$

2. 입력 큐 비트를 주기적으로 번 시프트합니다 .$k$

3. 원래 입력 큐 비트의 마지막을 출력으로 고정하고 나머지 에서 재귀 합니다.$n-1$

이것은 고전적인 알고리즘이지만 Norbert가 의견에서 제안한 것처럼 양자 컴퓨터에서 실행할 수 있습니다. (양자 알고리즘에 대해 단호한 질문의 양상은 여전히 ​​나에게 분명하지 않으므로 양자 컴퓨터에서 제안한 것과 같은 고전적인 알고리즘을 실행하는 것이 충분하지 않으면 질문에 도움이 될 것입니다. 명확히해야합니다.)

질문은 무작위 출력을 요구하기 때문에 알고리즘은 아마도 측정 또는 큐 비트에 대한 다른 비-일체 연산 (예 : 초기화)을 통해 어떤 시점에서 엔트로피를 생성해야합니다. 위의 알고리즘에서 엔트로피를 생성하는 첫 번째 단계입니다. 1 단계의 작업이 수행되기 전에 추가 큐 비트의 상태에 관계없이 이어야합니다. 단계 1이 수행 된 후 ( 는 2 진수로 인코딩되어 있다고 가정하자).

참고 :이 답변에서는 순열을 일관되게 하고 싶다고 가정합니다 . 즉 1/3 대신 을 원한다고 가정합니다. 확률은 , 1/3 확률은 , 1/3 확률은 입니다.$\frac{1}{\sqrt{3}} ( |001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$$001$$010$$100$

가역성 제약으로 인해이 작업을 매우 쉽게 수행 할 수 없으므로이 작업을 지정하는 방법에주의하십시오. 예를 들어, 입력 경우 GHZ 상태 를 출력하려고합니다. . 그러나 입력 및 대한 GHZ 상태도 출력하려면 작동하지 않습니다. 여러 개의 입력 상태를 동일한 출력 상태 (디코 히어 런스없이)로 보낼 수는 없습니다. "0000111과 같이 정렬 된 오름차순 입력에 대해서만 신경 쓰지만 1110000 또는 0010110에는 신경 쓰지 않고 원하는대로 무엇이든 할 수 있습니다"라고 말하면 괜찮습니다.$|001\rangle$$\left| {3 \atop 1} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} (|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$$|010\rangle$$|100\rangle$

정렬 된 입력의 양자 순열을 생성하는 한 가지 트릭은 먼저 정렬 네트워크를 균일 한 중첩으로 시드 값 목록에 적용하여 "순열 상태"를 준비하는 것입니다. 정렬 네트워크는 정렬 된 시드를 보유한 큐 비트와 정렬 네트워크 비교를 보유한 큐 비트를 출력합니다. 순열 상태는 단지 비교 큐 비트입니다. 입력에 적용하려면 정렬 네트워크를 통해 입력을 반대로 실행하면됩니다. 여기에는 까다로운 세부 사항이 있습니다. " Fermionic Hamiltonians의 고유 상태를 준비하기위한 개선 된 기술 "논문을 참조하십시오 . 고유 한 값 대신 반복되는 값을 가진 입력에서 작업하려면이 기술을 일반화해야합니다.

" quantum compression " 을 보길 원할 수도 있는데, 이것은생성하려는 상태 ( 비트가 설정된 모든 비트 상태 의 균일 한 중첩 ). 가장 큰 차이점은 양자 압축 회로를 역으로 실행한다는 것입니다. "몇 개가 있습니까?" "정확한 수의 상태를 알려주십시오"대신.$\left| {n \atop k} \right\rangle$$n$$k$

내가 말하는 것은 이러한 종류의 상태를 생성하는 것이 예상보다 복잡하다는 것입니다. 복잡한 이유는 출력의 진폭의 크기가 입력의 계산 기준 상태에 달려 있기 때문입니다. 예를 들어, 대한 당신의 prefactor 그래서 당신은, 4 개 개의 클래식 상태의 중첩 인 출력을 원하는 숨겨진 내부 . 그러나 경우 원하는 출력은 6 개의 클래식 상태를 가지므로 은 의 선행 요소를 숨 깁니다 .$|0001\rangle$$\frac{1}{\sqrt{4}}$$\left| {4 \atop 1} \right\rangle$$|0011\rangle$$\left| {4 \atop 2} \right\rangle$$\frac{1}{\sqrt{6}}$

양자 컴퓨터는 고전적인 계산을 수행 할 수 있습니다. 최적의 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 액세스 할 수있는 가장 빠른 비트를 선택하십시오.
2. 반대의 값을 가진 비트를 찾으십시오 (1 단계에서 0을 얻은 경우 1을 찾으십시오)
3. 전환하십시오 (0은 1이되고 1은 0이됩니다).

2 단계는 클래식 연산을 사용하는 연산 을 사용 하는 비트 문자열을 통한 검색을 포함 하지만 함수를 평가 하여 비트 값을 얻을 수있는 경우 Grover의 양자 알고리즘을 사용하여 연산 과 반대 비트를 찾습니다 . $N$$\mathcal{O}(N)$$n^{\textrm{th}}$$\mathcal{O}\left(\sqrt{N}\right)$