에서는 보손 샘플링 , 우리는 각각 제 1 광자와 함께 시작하는 경우 $M$ 간섭계 형태의 각각의 출력 모드 1 광자를 검출 할 확률은 : $|\textrm{Perm}(A)|^2$ 의 열과 행, $A$ 최초로 $M$ 간섭계의 유니 터리 행렬의 열 $U$ 및 모든 행.

이것은 모든 단일 처럼 보이게 $U$하고, 적절한 간섭계를 구성하고, 행렬 구성하고 $A$, 각 모드에서 하나의 광자를 검출 할 확률의 제곱근을 취함으로써 의 지속 물의 절대 값을 계산할 $A$수 있습니다. boson 샘플링 실험에서 얻습니다). 이것이 사실입니까, 아니면 잡기가 있습니까? 사람들은 실제로 보손 표본 추출에서 영구 물에 대한 정보를 얻을 수 없다고 말했습니다.

또한, 무엇의 나머지 열을 발생 $U$ : 정확히 어떻게이 실험 결과가 첫 번째에 달려 있다는 것이다 $M$ 의 열 $U$ 과 그 모든 행,하지만의 다른 컬럼에 전혀 $U$ ? U의 열은 첫 번째 M 모드에서 의 실험 결과에 전혀 영향을 미치지 않습니까?$U$$M$

어느 정도까지는 사실 인 것 같습니다. 내가 스콧 애런 슨의 읽을 때 종이를 , 당신이 첫 번째의 각 1 광자와 함께 시작하는 경우라고 말한다 간섭계의 모드 및 확률 찾을 P S를 세트 것을 의 전 광자가 각 모드에서 출력 내가 ∈ { 1 , ... , N } 여기서 ∑ i s i = M 은 P s = | 당 (A) | $M$$P_S$$s_i$$i\in\{1,\ldots, N\}$$\sum_is_i=M$ 그래서, 실제로, 만약 특정 인스턴스 취할s의난=0가능한 모든 출력 또는 1, 그리고, 예 확률의 영구 같다,A는최초로M에서의 열의U및 특정 서브 세트M위치si=1로지정된 행. 따라서 이것은 질문에 지정된 것과는 다릅니다. 모든 행이 아니라 일부 하위 집합이므로

이것은 분명해야합니다. 행렬 V 가 있다고 가정 해 봅시다 . 기본 상태에서 시작하면 | 0 ⟩ 찾아 자사의 제품, V | 0 ⟩ , 그 다음은 출력에 대해 거의 알려줍니다 알고 V | 1 ⟩ 및 V | 도 2⟩에서 , V 가 단일 하다는 지식으로부터 말할 수있는 것을 제외 하고, 열과 행은 직교 정상이다.$3\times 3$$V$$|0\rangle$$V|0\rangle$$V|1\rangle$$V|2\rangle$$V$

당신이 한 번이 실행하고 당신이 얻을 모든 확률 분포에 따라 하나의 샘플입니다 : 하나의 조심해야한다는 문제는 정확성이다 . 이 작업을 몇 번 실행하면 다양한 확률에 대한 정보가 쌓이기 시작합니다. 이 시간을 충분히 실행하면 임의로 정확한 답변을 얻을 수 있지만 몇 개로 충분합니까? 값 p 의 추정치에서 오차를 측정 할 수있는 두 가지 방법이 있습니다 . 가산 오차 p ± ϵ 또는 곱하기 오차 p ( 1 ± ϵ )를 요구할 수 있습니다 . 일반적인 확률은 n + m 에서 기하 급수적으로 작을 것으로 예상하기 때문에$P_s$$p$$p\pm\epsilon$$p(1\pm\epsilon)$$n+m$곱셈 오차는 훨씬 더 높은 정확도를 요구하며, 이는 샘플링을 통해 효율적으로 달성 될 수 없습니다. 한편, 가산 오차 근사를 달성 할 수있다.

곱셈 오류는 사람들이 일반적 으로 계산하고자 하는 것이지만 , 추가 오류는 흥미로운 실체가 될 수도 있습니다. 예를 들어 Jones 다항식 의 평가에서 .

Aaronson은 Boson 샘플링과 Permanent 사이의 연결이 처음 만들어진 시점을 다시 한 번 알려줍니다.

Caianiello 가 1953 년 (이전이 아닌 경우)에 작업 한 이후 boson 프로세스 의 진폭을 n × n 행렬 의 영구성으로 쓸 수 있다고 알려져 있습니다 .$n$$n\times n$

대신, 그들의 주요 기여

대략적인 BosonSampling 문제를 해결하는 고전적인 컴퓨터의 능력과 영구적 인 컴퓨터의 근사한 능력 사이의 연관성을 증명하는 것입니다.

예를 들어 유한 샘플링과 관련된 근사 문제를 이해하고 관련된 계산 복잡성 결과를 설명하기 위해 : 우리는 그러한 것이 고전적으로 평가하기 어렵다고 생각합니다.

진폭의 절대 값을 효율적으로 복구 할 수는 없지만 임의의 많은 샘플을 허용하는 경우 원하는 정확도로 추정 할 수 있습니다.

보다 구체적으로, 입력 상태가 각각의 제 1 모드 에서 단일 광자 이고, 출력으로부터 임의의 수의 샘플을 추출 할 의사가있는 경우, 원칙적으로 A 의 영속성을 어느 정도 까지 추정 할 수있다 n 개의 입력 광자가 처음 n 개의 다른 출력 포트 에서 나오는 횟수의 비율을 세어 정확도를 좋아 합니다. 경도 결과는 광자 수보다 훨씬 더 많은 모드 수의 체제에서 유지되므로 샘플링의 효율성에 관한 것이므로 BosonSampling과는 실제로 관련이 없습니다.$n$$A$$n$$n$

보손 샘플링

나는 boson 샘플링이 무엇인지에 대해 아주 간략하게 소개하려고 노력하지만 Aaronson 자신보다 더 나은 작업을 수행 할 수는 없다는 점에 유의해야하므로 그의 관련 블로그 게시물을 살펴 보는 것이 좋습니다. (예 : blog /? p = 473 및 blog /? p = 1177 ) 및 링크가 있습니다.

BosonSampling은 샘플링 문제입니다. 사람들이 일반적으로 명확한 답을 갖는 문제를 생각하는 데 더 익숙하다는 점에서 이것은 약간 혼란 스러울 수 있습니다. 표본 문제는 문제에 대한 해가 확률 분포에서 추출한 표본 세트 라는 점에서 다릅니다 .

실제로, 보손 샘플러가 해결하는 문제 는 특정 확률 분포에서 샘플링 하는 것입니다 . 보다 구체적으로, 가능한 결과 (많은-보손) 상태의 확률 분포로부터 샘플링 .

4 가지 모드로 간단한 예로서 2 개 광자가있는 경우를 고려하고,하자 우리가 할 입력 상태를 해결 말한다 (즉, 두 개의 제 입력 모드들 각각에 단일 광자). 각 모드에서 둘 이상의 광자가있는 출력 상태를 무시하면 ($(1,1,0,0)\equiv|1,1,0,0\rangle$$\binom{4}{2}=6$ possible output two-photon states: $(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1)$ and $(0,0,1,1)$. Let us denote for convenience with $o_i, i=1,.,6$ the $i$-th one (so, for example, $o_2=(1,0,1,0)$). Then, a possible solution to BosonSampling could be the series of outcomes:

To make an analogy to a maybe more familiar case, it's like saying that we want to sample from a Gaussian probability distribution. This means that we want to find a sequence of numbers which, if we draw enough of them and put them into a histogram, will produce something close to a Gaussian.

Computing permanents

It turns out that the probability amplitude of a given input state $|\boldsymbol r\rangle$ to a given output state $|\boldsymbol s\rangle$ is (proportional to) the permanent of a suitable matrix built out of the unitary matrix characterizing the (single-boson) evolution.

More specifically, if $\boldsymbol R$ denotes the mode assignment list${}^{(1)}$ associated to $|\boldsymbol r\rangle$, $\boldsymbol S$ that of $|\boldsymbol s\rangle$, and $U$ is the unitary matrix describing the evolution, then the probability amplitude $\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s)$ of going from $|\boldsymbol r\rangle$ to $|\boldsymbol s\rangle$ is given by

Thus, considering the fixed input state $|\boldsymbol r_0\rangle$, the probability distribution of the possible outcomes is given by the probabilities

BosonSampling is the problem of drawing "points" according to this distribution.

This is not the same as computing the probabilities $p_s$, or even computing the permanents themselves. Indeed, computing the permanents of complex matrices is hard, and it is not expected even for quantum computers to be able to do it efficiently.

The gist of the matter is that sampling from a probability distribution is in general easier than computing the distribution itself. While a naive way to sample from a distribution is to compute the probabilities (if not already known) and use those to draw the points, there might be smarter ways to do it. A boson sampler is something that is able to draw points according to a specific probability distribution, even though the probabilities making up the distribution itself are not known (or better said, not efficiently computable).

Furthermore, while it may look like the ability to efficiently sample from a distribution should translate into the ability of efficiently estimating the underlying probabilities, this is not the case as soon as there are exponentially many possible outcomes. This is indeed the case of boson sampling with uniformly random unitaries (that is, the original setting of BosonSampling), in which there are $\binom{m}{n}$ possible $n$-boson in $m$-modes output states (again, neglecting states with more than one boson in some mode). For $m\gg n$, this number increases exponentially with $n$. This means that, in practice, you would need to draw an exponential number of samples to even have a decent chance of seeing a single outcome more than once, let alone estimate with any decent accuracy the probabilities themselves (it is important to note that this is not the core reason for the hardness though, as the exponential number of possible outcomes could be overcome with smarter methods).

In some particular cases, it is possible to efficiently estimate the permanent of matrices using a boson sampling set-up. This will only be feasible if one of the submatrices has a large (i.e. not exponentially small) permanent associated with it, so that the input-output pair associated with it will happen frequently enough for an estimate to be feasible in polynomial time. This is a very atypical situation, and will not arise if you draw unitaries at random. For a trivial example, consider matrices that are very close to identity - the event in which all photons come out in the same modes they came in will correspond to a permanent which can be estimated experimentally. Besides only being feasible for some particular matrices, a careful analysis of the statistical error incurred in evaluating permanents in this way shows that this is not more efficient than known classical algorithms for approximating permanents (technically, within a small additive error) ${}^{(2)}$.

Columns involved

Let $U$ be the unitary describing the one-boson evolution. Then, basically by definition, the output amplitudes describing the evolution of a single photon entering in the $k$-th mode are in the $k$-th column of $U$.

The unitary describing the evolution of the many-boson states, however, is not actually $U$, but a bigger unitary, often denoted by $\varphi_n(U)$, whose elements are computed from permanents of matrices built out of $U$.

Informally speaking though, if the input state has photons in, say, the first $n$ modes, then naturally only the first $n$ columns of $U$ must be necessary (and sufficient) to describe the evolution, as the other columns will describe the evolution of photons entering in modes that we are not actually using.

(1) This is just another way to describe a many-boson state. Instead of characterizing the state as the list of occupation numbers for each mode (that is, number of bosons in first mode, number in second, etc.), we characterize the states by naming the mode occupied by each boson. So, for example, the state $(1, 0, 1, 0)$ can be equivalently written as $(1, 3)$, and these are two equivalent ways to say that there is one boson in the first and one boson in the third mode.

(2): S. Aaronson and T. Hance. "Generalizing and Derandomizing Gurvits's Approximation Algorithm for the Permanent". https://eccc.weizmann.ac.il/report/2012/170/