존스 다항식

12

Deutsch의 알고리즘 Simon의 문제, Grover의 검색, Shor의 알고리즘 등 매우 유사한 프레임 워크 내에서 모두 이해할 수있는 상당히 표준적인 양자 알고리즘이 많이 있습니다.

완전히 다른 것처럼 보이는 알고리즘 중 하나는 Jones Polynomial 을 평가하는 알고리즘입니다 . 더욱이 이것이 BQP- 완전 문제 라는 점에서 이해하기위한 중요한 알고리즘 인 것 같습니다 . 양자 컴퓨터의 모든 능력을 보여줍니다. 또한 문제의 변형에 대해서는 DQC-1 완료입니다 . 즉, 하나의 클린 큐 비트 의 최대 성능을 나타냅니다 .

존스 다항식 알고리즘 논문은 다른 양자 알고리즘에 매우 다른 방식으로 알고리즘을 제시한다. 알고리즘 (특히 DQC-1 변형 의 단일 또는 BQP 완성 변형의 전체 회로)을 이해할 수있는 더 유사 / 친숙한 방법이 있습니까? $U$

algorithm circuit-construction bqp

— 다 프트 울리
소스

6

이 답변은 당신이 연결 한 Aharonov-Jones-Landau 논문의 요약입니다. 그러나 알고리즘 정의와 직접 관련이없는 모든 것은 제거되었습니다. 희망적으로 이것은 유용합니다.

Aharonov 존스 - 다우 알고리즘은 브레이드의 작은지면 폐쇄 존스 다항식 근사 (A)에서 (몇몇 스케일링) 특정한 유니 터리 행렬의 행렬 요소로 실현함으로써 단일성 일 루트 의 화상 브레이드 그룹 의 특정 단일 표현 하에서 . 양자 회로로서 의 구현이 주어지면, 매트릭스 요소를 근사화하는 것은 하다 마드 테스트를 사용하여 간단합니다 . 중요하지 않은 부분은 양자 회로로서 를 근사화 합니다. $\sigma$ $k$ $U_\sigma$ $\sigma$ $B_{2n}$ $U_\sigma$ $U_\sigma$

경우 편조가에 으로 가닥 횡단 우리가 쓸 수 여기서 , $\sigma$ $2n$ $m$ $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$ $a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ 이고, 는 위에서 번째 가닥을 가로 지르는 것에 해당하는 의 생성기입니다. 이므로 를 설명하면 충분합니다. $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$ $\sigma_i$ $B_{2n}$ $i$ $(i + 1)$ $U_{\sigma_i}$ $U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

정의하기 위해 , 먼저 표준 기반의 특정 서브 세트 수득 되는 nontrivially 작용한다. 들어 ,하자 . 라고 부르 자 $U_{\sigma_i}$ $\mathbb{C}^{2^{2n}}$ $U_{\sigma_i}$ $\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$ $\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$ $\psi$ 모든 경우 허용 됩니다 . (이는 AJL 논문에 정의 된 그래프 에서 길이 의 경로를 설명하는 해당합니다 .) $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$ $\psi$ $2n$ $G_k$ 하자(이것이 AJL 종이에 잘못 입력되고 여기에만 여기 것을 유의

λ_{r} = {\begin{cases} \sin (π r / k) & if 1 \leq r \leq k - 1, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$

A = i e^{- π i / 2 k}

$A = ie^{-\pi i/2k}$

은 인덱스

)가 아닙니다. 쓰기

여기서

최초로

비트의

, 그리고하자

. 그런 다음

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

i

$i$

ψ = | ψ_{i} b_{i} b_{i + 1} \dots ⟩

$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$

ψ_{i}

$\psi_i$

i - 1

$i - 1$

ψ

$\psi$

z_{i} = ℓ_{i - 1} (ψ_{i})

$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$

우리는허용되지 않는 기본 요소

대해

를정의한다.

\begin{aligned} U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 00 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 00 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 01 \dots ⟩) & = (A \frac{λ_{z_{i} - 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 10 \dots ⟩) & = A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + (A \frac{λ_{z_{i} + 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 11 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 11 \dots ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$

U_{σ_{i}} (ψ) = ψ

$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$

ψ

$\psi$

$U_{\sigma_i}$ $n$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $i - 1$ $z_i$ $z_i$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $U_{\sigma_i}$ $1 \leq z_i \leq k - 1$

요약하면 다음과 같습니다.

$\sigma \in B_{2n}$ $m$
$\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
$i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ $U_{\sigma_{a_i}}$ $\epsilon_i = -1$
$U_{\sigma}$
$\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
$\sigma$ $e^{2\pi i/k}$

— 에반 젠킨스
소스

3

이 질문에서 5 개의 논문을 언급했지만 2009 년 의 실험적 구현 은 언급되지 않은 것으로 남아 있습니다 . 다음은 Jones 다항식을 평가하는 데 사용 된 실제 회로입니다.

Jones 다항식과 DQC-1에 대한 관심이 2009 년 이후 약간 줄어 들었으므로 이것은 알고리즘에 대한 "보다 친숙한"프리젠 테이션에 가장 근접한 것일 수 있습니다.

이 실험에 대한 자세한 내용은 Gina Passante의 논문 에서 찾을 수 있습니다 .

— 사용자 1271772
소스

1

U_{n}

$U_n$

천만에요. 네, 이것은 4 페이지 PRL입니다. 자세한 내용은 제가 원하는대로 자세히 설명하지 않았을 것입니다. 아마도 저널의 웹 페이지에 U를 더 잘 설명하는 "보충 자료"가있을 수 있습니다. Jones 다항식과 DQC-1은 2008-2009 년에 인기가 있었지만 그 이후로는 그 이야기를 그만 두었습니다.

— user1271772