밀도 행렬의 동기는 무엇입니까? 그리고 순수한 상태의 밀도 매트릭스와 혼합 상태의 밀도 매트릭스의 차이점은 무엇입니까?

^{이것은 순수한 양자 상태와 혼합 양자 상태의 차이점은 무엇입니까? & qubit의 밀도 매트릭스를 찾는 방법은 무엇입니까? 다른 답변을 작성하실 수 있습니다.}

자극

밀도 매트릭스의 동기는 주어진 양자 시스템의 상태에 대한 지식이 부족하다는 것을 나타내며, 우리가 시스템에 대해 알고있는 것을 고려할 때이 시스템에 대한 단일 설명 내에 측정 결과의 모든 가능한 결과를 캡슐화합니다. 밀도 매트릭스 표현은 글로벌 위상과 관련된 모든 문제를 제거 할 수 있다는 이점이 있습니다.

$$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$$ 지식 부족은 다양한 방법으로 발생할 수 있습니다.

• 주관적인 지식 부족-심판이 당신을 위해 일련의 국가 중 하나를 준비합니다. $\{|\phi_i\rangle\}$ 확률로 $p_i$, 그러나 당신은 어느 것을 모른다. 그들이 아는 경우에도$|\phi_j\rangle$ 그들은 준비하지 않았으므로 가능한 상태 세트와 해당 확률에 대해 알고있는 것을 기반으로 설명해야합니다. $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$.

• 객관적인 지식 부족-양자 시스템이 더 큰 얽힌 상태의 일부인 경우 시스템을 순수한 상태로 설명하는 것은 불가능하지만 가능한 모든 측정 결과는 다음과 같이 얻은 밀도 매트릭스로 설명됩니다. $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$.

그러나 객관적인 지식 부족이 주관적이 될 수 있다는 것이 흥미 롭습니다. 제 2자가 얽힌 나머지 상태에서 작업을 수행 할 수 있습니다. 그들은 측정 결과 등을 알 수 있지만, 전달하지 않으면 원래 양자 시스템을 보유한 사람은 새로운 지식이 없으므로 이전과 동일한 밀도 매트릭스를 사용하여 시스템을 설명하지만 이제는 주관적인 설명입니다. .

예를 들어 밀도 매트릭스를 표현하는 특정 방법을 선택한다는 점도 중요합니다. $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$매우 주관적인 선택입니다. 특정 준비 절차에 의해 동기가 부여 될 수 있지만 수학적으로 동일한 행렬을 제공하는 모든 설명은 동일합니다. 예를 들어 단일 큐빗에서$\rho=\frac12\mathbb{I}$최대 혼합 상태라고합니다. 인해 기준의 완전성 관계로, 이는 50:50 혼합물을 사용하거나 두 개의 직교 상태로 표현 될 수 있는 1 큐빗 기초.

$$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$$

순수하고 혼합 된 상태

순수한 상태와 혼합 상태의 밀도 매트릭스의 차이점은 간단합니다. 순수한 상태는 형식으로 쓸 수있는 특별한 경우입니다. $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$이 상태에서는 혼합 상태를 작성할 수 없습니다. 수학적으로 이것은 순수한 상태의 밀도 행렬이 1의 순위를 갖는 반면 혼합 상태의 순위는 1보다 큰 것을 의미합니다.이를 계산하는 가장 좋은 방법은$\text{Tr}(\rho^2)$: $\text{Tr}(\rho^2)=1$순수한 상태를 의미하며, 그렇지 않으면 혼합됩니다. 이것을 보려면$\text{Tr}(\rho)=1$, 모든 고유 값의 합이 1임을 의미합니다. $\rho$는 양의 반 정밀도이므로 모든 고유 값은 음수가 아닙니다. 그래서 만약$\rho$ 1의 순위이고 고유 값은 $(1,0,0,\ldots ,0)$, 합계는 1입니다. 1이되는 음이 아닌 다른 숫자 집합의 합계는 1보다 작아야합니다.

양자 역학에 대한 재미있는 점은 이것이 가능한 측정 결과에 대한 완전한 지식을 암시하지는 않는다는 점에서 순수한 상태는 시스템의 완벽한 지식에 해당합니다. 혼합 상태는 준비 지식이나 더 넓은 힐버트 공간에 대한 지식이든 불완전한 지식을 나타냅니다.

혼합 상태 설명이 훨씬 풍부하다는 사실은 단일 큐 비트의 Bloch 구 그림에서 볼 수 있습니다. 순수한 상태는 구 표면의 모든 상태이고 혼합 상태는 모두 부피 내에 포함 된 상태입니다. 매개 변수 계산 측면에서 두 매개 변수 대신 Bloch 벡터의 길이에 해당하는 추가 매개 변수 세 개가 필요합니다.

$$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$$ 어디 $\underline{n}$ 3 요소 단위 벡터입니다. $\underline{\sigma}$ Pauli 행렬의 벡터입니다. $r=1$ 순수한 상태로 $0\leq r<1$ 혼합 상태.

밀도 매트릭스의 배후 동기 ^[1] :

양자 역학에서 양자 시스템의 상태는 다음과 같이 표시된 상태 벡터로 표시됩니다. $|\psi\rangle$(그리고 발음 된 ket ). 상태 벡터를 가진 양자 시스템$|\psi\rangle$순수한 상태 라고합니다 . 그러나, 시스템 이 상이한 상태 벡터 의 통계적 앙상블 에 있을 수도있다 . 예를 들어$50\%$ 상태 벡터가 될 확률 $|\psi_1\rangle$ 그리고 $50\%$ 상태 벡터가 $|\psi_2\rangle$. 이 시스템은 혼합 상태 입니다. 순수한 또는 혼합 된 임의의 상태가 단일 밀도 매트릭스에 의해 특성화 될 수 있기 때문에 밀도 매트릭스는 혼합 상태에 특히 유용하다. 혼합 상태는 양자 중첩과 다릅니다. 혼합 상태에서의 확률은 양자 중첩에서의 양자 확률과 달리 고전적인 확률 (고전 확률 이론 / 통계에서 배우는 확률에서와 같이)이다. 실제로 순수한 상태의 양자 중첩은 또 다른 순수한 상태입니다.$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$. 이 경우 계수$\frac{1}{\sqrt {2}}$ 확률이 아니라 확률 진폭입니다.

예 : 편광

순수한 상태 및 혼합 상태의 예는 편광입니다. 광자는 두 개의 직교 양자 상태에 해당하는 두 개의 helicities 를 가질 수 있습니다 .$|R\rangle$(오른쪽 원형 편광 ) 및$|L\rangle$(왼쪽 원형 편광 ). 광자는 또한 다음과 같은 중첩 상태에있을 수 있습니다.$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$(수직 편광) 또는 $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$(수평 편광). 더 일반적으로 모든 상태에있을 수 있습니다.$\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ (와 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$)는 선형 , 원형 또는 타원형 편광에 해당합니다. 우리가 통과하면$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$원형 편광판 을 통한 편광$|R\rangle$ 편광 또는 유일한 $|L\rangle$편광 된 경우, 강도는 두 경우 모두 절반으로 감소 될 것이다. 이렇게 하면 광자의 절반이 상태 인 것처럼 보일 수 있습니다$|R\rangle$ 그리고 다른 상태 $|L\rangle$. 그러나 이것은 정확하지 않습니다.$|R\rangle$ 과 $|L\rangle$수직 선형 편광판에 의해 부분적으로 흡수 되지만$\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ 빛은 편광없이 빛을 통과합니다.

그러나 백열 전구 의 빛 과 같은 비 편광 은 다음과 같은 상태와 다릅니다.$\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$(선형, 원형 ​​또는 타원형 편광). 선형 또는 타원 편광과 달리 편광판을 통해$50\%$편광자의 배향에 상관없이 강도 손실; 원형 편광과는 달리, 임의의 배향을 갖는 파장 판으로부터 랜덤하게 배향 된 편광이 나타날 것이기 때문에 임의의 파장 판 으로 선형 편광 될 수 없다 . 실제로, 비 편광 은 형태의 어떤 상태 로 도 기술 될 수 없다$\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$확실한 의미로. 그러나, 비 편광 된 광은 앙상블 평균으로 기술 될 수 있으며, 예를 들어 각각의 광자가$|R\rangle$ 와 $50\%$ 확률 또는 $|L\rangle$ 와 $50\%$개연성. 각 광자가 수직으로 편광되면 동일한 동작이 발생합니다.$50\%$ 확률 또는 수평으로 편광 $50\%$ 개연성.

따라서, 비 편광은 순수한 상태로 기술 될 수 없지만 통계적 앙상블 로 기술 될 수있다 , 적어도 2 가지 방식으로 순수한 상태 (반쪽 반 및 반 오른쪽의 앙상블은 원형으로 편광 됨, 또는 반으로 수직 및 반은 수평으로 선형 편파 된 앙상블). ). 이 두 앙상블은 실험적으로 완전히 구분할 수 없으므로 동일한 혼합 상태로 간주됩니다. 밀도 매트릭스의 장점 중 하나는 각 혼합 상태에 대해 단 하나의 밀도 매트릭스가 있고, 각 혼합 상태에 대해 순수한 상태의 통계적 앙상블이 많다는 것입니다. 그럼에도 불구하고, 밀도 매트릭스는 혼합 상태의 측정 가능한 특성을 계산하는 데 필요한 모든 정보를 포함합니다.

혼합 상태는 어디에서 왔습니까? 그에 답하기 위해, 비 편광을 생성하는 방법을 고려하십시오. 한 가지 방법으로 시스템을 사용하는 열 평형 , 엄청난 수의 통계적 혼합 microstates 특정 확률합니다 (각 볼츠만 인자 로 인해 하나 옆에서 빠르게 전환), 온도 변동 . 열 랜덤은 백열등 ( 예 : 백열등 )이 비 편광을 방출 하는 이유를 설명합니다 . 비 편광을 생성하는 두 번째 방법은 시스템 준비에 불확실성을 유발하는 것입니다. 예를 들어 복굴절 결정을 통과시킵니다.표면의 거친 부분으로 인해 빔의 약간 다른 부분이 다른 편광을 얻습니다. 비 편광을 생성하는 세 번째 방법은 EPR 설정을 사용합니다. 방사성 붕괴는 양자 상태에서 반대 방향으로 진행하는 두 개의 광자를 방출 할 수 있습니다$\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$. 두 개의 광자가 함께 순수한 상태이지만, 하나의 광자를보고 다른 광자를 무시하면 광자는 편광되지 않은 빛처럼 동작합니다.

보다 일반적으로, 혼합 상태는 일반적으로 시작 상태 (예 : 열 평형)의 통계적 혼합, 준비 절차의 불확실성 (예 : 광자가 이동할 수있는 약간 다른 경로) 또는 얽힌 하위 시스템을 보면 발생합니다. 다른 것.

밀도 매트릭스를 얻는 것 ^[2] :

전술 한 바와 같이, 시스템은 상이한 상태 벡터의 통계적 앙상블에있을 수있다. 말해봐$p_1$ 상태 벡터가 될 확률 $|\psi_1\rangle$ 과 $p_2$ 상태 벡터가 될 확률 $|\psi_2\rangle$ 각 상태의 해당 고전 확률이 준비됩니다.

이제 연산자 의 기대 값 을 찾고 싶습니다.$\hat{O}$. 다음과 같이 주어진다 :

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$$

참고 $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ 과 $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$스칼라이고 스칼라의 흔적 도 스칼라입니다. 따라서 위 식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$$

이제 트레이스 의 순환 불변 및 선형성 속성을 사용합니다 .

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$$

$$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$$

어디 $\rho$밀도 행렬이라고합니다. 밀도 연산자에는 실험에 대한 기대 값을 계산하는 데 필요한 모든 정보가 포함됩니다.

따라서 기본적으로 밀도 매트릭스 $\rho$ 이다

$$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$$ 이 경우

확률이 다른 시스템에서 둘 이상의 상태 벡터가 가능한 경우이 논리를 분명히 추정 할 수 있습니다.

밀도 매트릭스 계산

다음과 같이 예를 들어 봅시다.

위의 이미지에서 백열 전구 $1$ 완전 임의의 편광 광자를 방출 $2$ 혼합 상태 밀도 매트릭스.

앞서 언급 한 바와 같이, 비 편광 된 광은 앙상블 평균으로 설명 될 수있다. 즉, 각각의 광자가 $|R\rangle$ 또는 $|L\rangle$ 와 $50%$ probability for each. Another possible ensemble average is: each photon is either $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ or $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ with $50\%$ probability for each. There are lots of other possibilities too. Try to come up with some yourself. The point to note is that the density matrix for all these possible ensembles will be exactly the same. And this is exactly the reason why density matrix decomposition into pure states is not unique. Let's check:

Case 1: $50\%$ $|R\rangle$ & $50\%$ $|L\rangle$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$$

Now, in the basis $\{|R\rangle, |L\rangle\}$, $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$

Case 2: $50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ & $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$, $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$ Thus, we can clearly see that we get the same density matrices in both case 1 and case 2.

However, after passing through the vertical plane polarizer (3), the remaining photons are all vertically polarized (4) and have pure state density matrix:

$$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$, $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

The single qubit case:

If your system contains just a single qubit and you're know that its state $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ (where $|\alpha|^2+|\beta|^2$) then you are already sure that the 1-qubit system has the state $|\psi\rangle$ with probability $1$!

In this case, the density matrix will simply be:

$$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$$

If you're using the orthonormal basis $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$,

the density matrix will simply be:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

This is very similar to 'case 2' above, so I didn't show the calculations. You can ask questions in the comments if this portion seems unclear.

However, you could also use the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis as @DaftWullie did in their answer.

In the general case for a 1-qubit state, the density matrix, in the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis would be:

$$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$$

Notice that this matrix $\rho$ is idempotent i.e. $\rho = \rho^2$. This is an important property of the density matrices of a pure state and helps us to distinguish them from density matrices of mixed states.

Obligatory exercises:

1. Show that density matrices of pure states can be diagonalized to the form $\text{diag}(1,0,0,...)$.
2. Prove that density matrices of pure states are idempotent.

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Sources & References:

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]: https://physics.stackexchange.com/a/158290

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