Toffoli 게이트와 Popescu-Rohrlich 상자의 관계는 무엇입니까?

배경

Toffoli 게이트는 3 입력, 3 출력 클래식 로직 게이트입니다. 를 보냅니다 . 가역적 (클래식) 계산에 보편적이라는 점에서 중요합니다.$(x, y, a)$$(x, y, a \oplus (x \cdot y))$

Popescu-Rohrlich 상자는 비 신호 상관 관계의 가장 간단한 예입니다. 와 가 모두 균일 한 랜덤 변수가 되도록 만족 하는 한 쌍의 입력 과 출력 이 필요합니다. 그것은을위한 보편적 인 의 특정 클래스 ( 전부는 아니지만 ) 비 신호의 상관 관계.$(x, y)$$(a, b)$$x \cdot y = a \oplus b$$a$$b$

내 눈에,이 두 객체는 ​​특히 PR 상자가 출력 을 갖도록하여 PR 상자를 보강하는 경우 매우 유사하게 보입니다 . 이 2 입력, 4 출력 PR 박스는 3 입력, 3 출력 Toffoli 게이트이지만 "세번째 입력은 랜덤 출력으로 대체됩니다." 그러나 나는 그것들과 관련된 참조를 찾을 수 없었습니다.$(x, y, a, b) = (x, y, a, a \oplus (x \cdot y))$

질문

Toffoli 게이트와 Popescu-Rohrlich 상자의 관계는 무엇입니까? 가역적 고전 회로와 (특정 클래스의?) 비 신호 상관 관계 사이에 대응 관계가 있습니까?

관찰

1. 비 신호 상관을 지정하려면 기능뿐만 아니라 각 입력 및 출력을 제어하는 ​​당사자에게 할당해야합니다. Alice가 두 입력을 모두 입력하고 Bob이 두 출력을 모두 읽도록 허용하면 PR 상자는 더 이상 신호가 아닙니다. 또는 우리의 "증강"PR-상자에서 앨리스 입력하면 , 그녀는 또한의 사본을 읽는 하나 여야합니다 . 따라서 일반적인 회로 (일부 입력은 임의 출력으로 대체 될 수 있음)의 경우, 통신이 불가능하도록 입력 및 출력을 당사자에게 할당 할 수있는 모든 방법을 결정하는 것은 쉽지 않습니다.$x$$x$

2. 우리는 돌이킬 수없는 것을 포함하여 논리 게이트를 위의 절차에 적용 할 수 있습니다. 예를 들어, AND를 가져 와서 입력 중 하나를 임의의 출력으로 바꾸고, 함수 하나를 입력 와 쌍 가져옵니다. 여기서 는 균일 한 랜덤 변수입니다. 그러나, 되는 조건으로 (가)의 방법 만이 입력은 앨리스가 아닌 경우 신호가 될 수 있으므로, 수신 . 그러나이 절차는 이미 임의의 공유 소스를 사용하여 고전적으로 재현 할 수 있습니다. 따라서 돌이킬 수없는 게이트를 포함한다고해서 만들 수있는 비 신호 상관 관계의 클래스가 확장되지는 않을 것으로 예상됩니다.$x$$(a, x \cdot a)$$a$$x \cdot a$$0$$x = 0$$x$$x \cdot a$

Toffoli 게이트와 PR 박스를 연결하는 자연적인 방법은 두 가지 이진 입력의 AND 기능을 서로 다른 방식으로 표시하는 것입니다. AND 함수와의 연결은 분명하고 질문에 의해 분명히 인정되지만 약간 다른 방식으로 표현할 것입니다.

1. Toffoli 게이트는 물론 AND를 가역 함수로 나타내는 자연스러운 방법입니다. 이는 임의 함수 가역적으로 로 나타내는 일반적인 패턴을 따릅니다 .$f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$|x,a\rangle \mapsto |x,a\oplus f(x)\rangle$

2. PR 상자는 AND 함수의 분산 형태로 볼 수 있습니다. 입력에 PR 박스의 출력 다음과 같이 표현 될 수있다 , 또는 등가 적으로 같은 , 여기서 은 균일하게 생성 된 임의의 비트입니다. 따라서, PR 박스의 출력은 입력의 AND가 각각 0인지 또는 1인지에 따라, 완벽하게 상관 된 또는 랜덤하게 상관 된 랜덤 비트 쌍이다. Alice와 Bob은 AND 함수의 출력 (출력 비트의 XOR을 계산하여 얻을 수 있음)을 총체적으로 알고 있지만 개별적으로이 값에 대한 정보는 전혀 없기 때문에 이것은 흥미 롭습니다.$(x,y)$$(\text{AND}(x,y)\oplus a, a)$$(a,\text{AND}(x,y)\oplus a)$$a\in\{0,1\}$

PR 박스가이 분산 방식으로 AND 함수를 효과적으로 계산한다는 아이디어는 Wim van Dam의 PR 박스가 존재하는 경우 통신 복잡성이 사소 해졌다는 증거의 핵심 아이디어입니다.

van 반 댐. 초강력 한 비 국지성으로 인한 끔찍한 결과. 자연 컴퓨팅 12 (1) : 2013 년 9 월 12 일.