양자 알고리즘을 사용하여 가중치 행렬의 생성 속도를 높일 수 있습니까?

에서는 이 ^[1] 논문 2 페이지들은 다음들은 가중 행렬을 생성하는 것으로 언급 :

$$W = \frac{1}{Md}[\sum_{m=1}^{m=M} \mathbf{x}^{(m)}\left(\mathbf{x}^{(m)}\right)^{T}] - \frac{\Bbb I_d}{d}$$

어디 $\mathbf{x}^{(m)}$의 $d$차원 훈련 샘플 (즉, $\mathbf{x} := \{x_1,x_2,...,x_d\}^{T}$ 어디 $x_i \in \{1,-1\} \ \forall \ i\in \{1,2,...,d\}$) 있고 $M$총 훈련 샘플. 행렬 곱셈을 사용한 가중 행렬의 생성$M$ 용어는 시간 복잡성 측면에서 비용이 많이 드는 작업 인 것 같습니다. $O(Md)$ (?).

가중치 행렬 생성을위한 실질적인 속도 향상을 제공 할 수있는 양자 알고리즘이 있습니까? 논문에서 그들의 주요 속도 향상은 양자 매트릭스 역전 알고리즘 (이후 논문에서 나중에 언급 함)에서 비롯된 것으로 생각되지만 가중치 행렬 생성의 이러한 측면을 고려하지 않은 것 같습니다.

[1] : A Quantum Hopfield Neural Network Lloyd et al. (2018)

밀도 매트릭스를 복용

$$\rho=W+\frac{I_d}{d}=\frac 1M \sum_{m=1}^M\left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|,$$ 자세한 내용은 2 페이지의 다음 단락에 모두 포함되어 있습니다.

신경망의 양자 적응에 결정적인 것은 활성화 패턴의 고전에서 양자로의 판독이다. 설정에서 활성화 패턴으로 읽기$x$ 양자 상태를 준비하는 양 $|x〉$. 이것은 원칙적으로 양자 랜덤 액세스 메모리 (qRAM) [33] 또는 효율적인 양자 상태 준비 (제한된 오라클 기반의 결과 [34])의 개발 기술을 사용하여 달성 할 수있다. 두 경우 모두, 계산 오버 헤드는$d$. 대안 적으로 완전한 양자 관점을 적응시키고 활성화 패턴을 취할 수있다$|x〉$양자 장치로부터 직접 또는 양자 채널의 출력으로서. 전자의 경우, 퀀텀 디바이스가 큐 비트 수에 따라 최대 다항식으로 스케일링되는 여러 게이트로 구성 될 때마다 준비 런타임이 효율적입니다. 대신, 후자를 위해, 우리는 일반적으로 채널을 구현에 계산 오버 헤드가 필요없는 어떤 형태의 고정 시스템 환경 상호 작용으로 본다.

위의 참조는 다음과 같습니다.

[33] : V. Giovannetti, S. Lloyd, L. Maccone, Quantum random access memory, Physical Review Letters 100, 160501 (2008) [ PRL 링크 , arXiv 링크 ]

[34] : Soklakov, R. Schack, 양자 비트의 레지스터에 대한 효율적인 상태 준비, Physical Review A 73, 012307 (2006). [ PRA 링크 , arXiv 링크 ]

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방법에 대한 세부 사항으로 들어 가지 않고, 위의 두 가지 모두 각각 효율적인 qRAM을 구현하기위한 체계입니다. 상태를 재현하는 효율적인 상태 준비$\left|x\right>$ 제 시간에 $\mathcal O\left(\log_2 d\right)$.

그러나 이것은 지금까지만 가능합니다. 상태를 만드는 데 사용할 수 있습니다. $\rho^{\left(m\right)} = \left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|$우리는 가능한 모든 것에 대한 합계를 원하지만 $m$'에스.

십자가, $\rho = \sum_m\rho^{\left(m\right)}/M$ 는 혼합되어 단일 순수 상태로 표시 될 수 없으므로 순수 상태 재생성에 대한 위의 두 참조 중 두 번째는 적용되지 않으며 첫 번째 상태는 이미 qRAM에 있어야합니다.

따라서 저자는 세 가지 가능한 가정 중 하나를 수행합니다.

1. 그들은 정확한 입력 상태를 제공하는 장치를 가지고 있습니다.

2. 그들은 상태가 $\rho^{\left(m\right)}$ qRAM에서

3. 그들은 위의 두 번째 참조를 사용하여 마음대로 그 상태를 만들 수 있습니다. 혼합 상태는 양자 채널 (즉, 완전히 양의 트레이스 보존 (CPTP) 맵)을 사용하여 생성 됩니다.

현재 위의 옵션 중 처음 두 가지를 잊어 버린 경우 (첫 번째 방법은 문제를 마술로 해결합니다) 채널은 다음 중 하나 일 수 있습니다.

• 아날로그 시뮬레이션과 유사한 방식으로 특정 인스턴스에 대해 생성 될 수 있다는 점에서 엔지니어링 시스템. 다시 말해 물리적 인 시간이 걸리는 물리적 채널이 있습니다$t$(일부 복잡성과 반대로). 이것은 "고정 된 시스템-환경 상호 작용으로 계산 오버 헤드가 필요하지 않습니다."

• 채널 자체는 시뮬레이션됩니다. 이에 대해 베니 (Bény)와 오레 스코프 (Oreshkov)의 양자 채널에 대한 대략적인 시뮬레이션 ( arXiv 링크 -이 논문은 철저한 논문처럼 보이지만 시간 복잡성에 대한 설명을 찾을 수 없음) 과 같은 몇 가지 논문이 있습니다. al.의 실험용 양자 채널 시뮬레이션 (arXiv 버전이 존재하지 않는 것 같음) 및 Wei, Xin 및 Long의 arXiv 프리 프린트 IBM 클라우드 양자 컴퓨터의 효율적인 범용 양자 채널 시뮬레이션 (큐빗 수)$n=\lceil\log_2 d\rceil$)는 시간 복잡성을 제공합니다 $\mathcal O\left(\left(8n^3+n+1\right)4^{2n}\right)$. 복잡한 Stinespring 확장을 사용할 수도 있습니다.$\mathcal O\left(27n^34^{3n}\right)$.

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이제 옵션 2 ^1을 살펴보면 더 효율적인 방법 중 하나는 일반적인 방법으로 주소 레지스터에서 데이터 레지스터로 상태를 전송하는 것입니다. 레지스터의 주소$a$, $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a$, 이것을 데이터 레지스터로 전송하면 데이터 레지스터의 상태가됩니다. $d$ 같이 $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a\left|D_j\right>_d$. 주소와 데이터 레지스터를 간단히 분리하여 혼합 상태로 전환하여 약간의 시간 오버 헤드를 줄 수 있지만 추가 계산 복잡도 오버 헤드가 없어 훨씬 더 복잡한 생성이 가능합니다.$\rho$, 상태를 가진 qRAM이 주어지면 $\left|x^{\left(m\right)}\right>$, 의 $\mathcal O\left(n\right)$. 이것은 또한 상태 생성의 복잡성입니다$\left|x^{\left(m\right)}\right>$ 처음에는 생산의 잠재적 (훨씬 개선) 복잡성을 제공 $\rho$ 의 $\mathcal O\left(n\right)$.

^{1 채팅에서 이러한 가능성을 지적한 @glS 덕분에}

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그런 다음이 밀도 매트릭스는 'qHop'(quantum Hopfield)에 공급되어 시뮬레이션에 사용됩니다 $e^{-iAt}$ ...에 대한

$$A=\begin{pmatrix}W-\gamma I_d && P\\ P&& 0\end{pmatrix}$$ 은 "따라 효율적인 해밀턴 시뮬레이션 (A)의 8 페이지의"섹션.