선형 방정식 시스템 (HHL09)에 대한 양자 알고리즘 : 2 단계- 은 무엇입니까 ?

^{이것은 선형 방정식 시스템 (HHL09)에 대한 퀀텀 알고리즘 의 후속 순서입니다. 1 단계 – 선형}^추정^{시스템 (HHL09)에 대한}^{위상 추정 알고리즘}^및^{양자 알고리즘}^{의 사용에 관한 혼동}^{: 1 단계-필요한 큐 비트 수} .

: 용지에서 식 (해로우, Hassidim & 로이드, 2009)의 선형 시스템에 대한 양자 알고리즘 , 부분까지 함께 작성

다음 단계는 위상 추정 [5–7]을 사용하여 고유 벡터를 기준으로 을 분해하는 것 입니다. 넣어야 의 고유 벡터 (또는 등가의 ) 및 의해 대응하는 고유 값. $|b\rangle$ $|u_j\rangle$ $A$ $e^{iAt}$ $\lambda_j$

페이지에서 만드는 일부 나에게 의미 (위의 링크 이전 글에서 언급이 있었다까지 최대 혼란을). 그러나 다음 부분, 즉 회전은 약간 비밀스러워 보입니다. $2$ $R(\lambda^{-1})$

하자
$| Ψ_{0} ⟩ := \sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩$ $|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$
일부 대형위한 . 오류 분석에 나타나는 특정 2 차 손실 함수를 최소화하기 위해 의 계수 가 선택됩니다 ([5-7]) (자세한 내용은 [13] 참조). $T$ $|\Psi_0\rangle$

다음으로, 우리는 조건부 해밀턴 진화 적용 에 , 여기서 입니다. $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

질문 :

1. 정확히 은 무엇입니까 ? 와 는 무엇 을 의미합니까? 이 거대한 표현 은 (는) 갑자기 그 용도와 사용 용도가 . $|\Psi_0\rangle$ $T$ $\tau$

\sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩

$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$

2. 위상 추정 단계 후 시스템 상태는 다음과 같습니다 .

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩ \otimes | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

이 확실 없다 같이 쓸 즉

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩) \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

| b ⟩ \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

따라서 두 번째 레지스터에서 별도로 사용할 수 없음 이 분명합니다 . 그래서 나는 그들이 과 같은 상태를 어떻게 준비하고 있는지 전혀 모른다 ! 또한, 무슨 않는 의 첨자에서 나타낸다? $|b\rangle$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $C$ $|\Psi_0\rangle^{C}$

3. 이 식 는 어디에서 갑자기 나타 납니까? 시뮬레이션을 어떻게 사용합니까? 그리고 무엇 에서 ? $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $\kappa$ $\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

algorithm hhl-algorithm hamiltonian-simulation

— 산차 얀 두타
소스

답변:

1. 정의

이 답변에 사용 된 이름과 기호는 Quantum 선형 시스템 알고리즘에 정의 된 이름과 기호를 따릅니다 : 프라이머 (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) . 리콜은 아래에서 수행됩니다.

1.1 등록 명

레지스터 이름은 Quantum 선형 시스템 알고리즘 의 그림 5에 정의되어 있습니다 : 프라이머 (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (아래에서 재현) :

$S$ (1 큐 비트)는 출력이 유효한지 여부를 확인하는 데 사용되는 보조 레지스터입니다.
$C$ ( qubits)는 클록 레지스터, 즉 양자 위상 추정 (QPE)으로 고조파 고유 값을 추정하는 데 사용되는 레지스터입니다. $n$
$I$ ( qubits)는 방정식 의 오른쪽을 저장하는 레지스터 입니다. 알고리즘의 끝에서 가 로 측정 될 때 방정식의 결과 인 저장 합니다. $m$ $Ax = b$ $x$ $S$ $\left|1\right>$

2. : $\left|\Psi_0\right>$

정확히 무엇입니까? $\left|\Psi_0\right>$

$\left|\Psi_0\right>$ 는 클럭 레지스터 의 가능한 초기 상태 중 하나 입니다. $C$
와 는 무엇 을 의미합니까? $T$ $\tau$

$T$ 는 큰 양의 정수를 나타냅니다. 이 의 표현 때문에 가능한 한 크게해야한다 점근에 대해 주어진 오류 최소화 할 무한대로 성장. 의 발현 , 것 양자 클록에 대한 가능한 상태의 수 . $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $2^n$ $C$

$\tau$ 는 합산 지수 일뿐입니다
왜 대한 거대한 표현 입니까? $\left|\Psi_0\right>$

자세한 설명 은 DaftWullie의 게시물 을 참조하십시오 .

선형 방정식 시스템 (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v3)에 대한 Quantum 알고리즘 의 인용에 따라 다음 과 같이 끝납니다.
1. 선형 방정식 시스템에 대한 동일한 논문 양자 알고리즘 의 이전 버전 (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v2) . 저자는 논문을 2 번 수정했으며 (원본 HHL 논문의 3 가지 버전이 있음) 버전 n ° 3에는 이전 버전에서 제공된 모든 정보가 포함되어 있지 않습니다. V2 (섹션 A.3. 17 페이지에서 시작)에서 작성자는이 특수 초기 상태의 오류에 대한 자세한 분석을 제공합니다.
2. 방정식 10에서 의 표현이 로 주어진 최적의 양자 클록 (Buzek, Derka, Massar, 1998) . 나는 지식이 없다. 이 부분을 완전히 이해하지만이 표현은 어떤 의미에서는 "최적"인 것 같습니다. $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_{opt}\right>$

3. : $\left|\Psi_0\right>$

이전 부분에서 언급했듯이 는 초기 상태입니다. 위상 추정 절차 후에 준비하지 않습니다 . 문장 순서는 논문에서 실제로 최적이 아닙니다. 그들이 논문에서 사용하는 위상 추정 절차는 1 부에서 링크 된 양자 회로에 표현 된 "고전적인"위상 추정 알고리즘과 약간 다르기 때문에 그것들을 자세히 설명합니다. $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_0\right>$

위상 추정 알고리즘은 다음과 같습니다.

레지스터 에서 상태를 준비하십시오 . $\left|\Psi_0\right>$ $C$
조건부 Hamiltonian Evolution을 레지스터 와 ( )에 적용하십시오. $C$ $I$ $\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$
양자 푸리에 변환을 결과 상태에 적용합니다.

마지막으로, 에서 는 는 레지스터 저장됩니다 . 이것은 사용 된 레지스터를 추적하기위한 짧고 편리한 표기법입니다. $C$ $\left| \Psi_0 \right>^C$ $\left| \Psi_0 \right>$ $C$

4. 해밀턴 시뮬레이션 :

우선, 는 행렬 의 조건 번호 ( "조건 번호"의 Wikipedia 페이지 )입니다 . $\kappa$ $A$

$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ 는 양자 게이트의 수학적 표현입니다.

합계 의 첫 번째 부분 은 제어 부분입니다. 이는 동작이 첫 번째 양자 레지스터의 상태 ( 지수가 알려주 는 레지스터 의해 제어됨을 의미합니다 . $|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$ $C$

두 번째 부분은 "해밀턴 시뮬레이션"게이트, 즉 에 의해 주어진 단일 행렬 을 두 번째 레지스터 ( 초기 상태 에있는 레지스터 적용 할 양자 게이트)입니다. ). $e^{iA\tau t_0/T}$ $I$ $\left|b\right>$

전체 합은 "1 정의"의 양자 회로에서 제어 된 U 연산의 수학적 표현이며 입니다. $U = e^{iA\tau t_0/T}$

— 넬리 미
소스

$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$ 첫 번째 질문에 대한 답변으로, 나는 그것이 어떻게 작동했는지에 대한 나의 이해에 대해 얼마 전에 나 자신에게 메모를 썼습니다. 표기법은 아마도 약간 다를 수 있습니다 (더 많은 것을 했지만 비트를 놓치기 쉽습니다) . 상태의 선택을 설명하려고 시도합니다 . 장소에 떠 다니는 의 일부 요인이있는 것 같습니다 . $|\Psi_0\rangle$ $\frac12$

위상 추정을 처음 연구 할 때는 일반적으로 Shor 알고리즘과 같은 특정 알고리즘에 사용하는 방법에 대해 생각합니다. 이것은 고유 한 목표에 가장 적합한 비트 근사값을 얻는 것 입니다. 위상 추정에 대한 설명은 구체적으로 가능한 높은 성공 확률을 제공하도록 조정되었습니다. $t$

HHL에서 일부 상태 을 생성하려고합니다 여기서 위상 추정을 이용하는근사치의 정확도는 0에서 멀지 않은 값보다 0에 가까운 고유 값의 정확한 추정에 훨씬 더 크게 좌우됩니다. 따라서 명백한 단계는 위상 추정 프로토콜을 수정하여 오히려 의 위상을 근사화하기 위해 고정 폭 의 'bins'를 사용하는 것보다 ( 이고 는 위상 추정 레지스터의 큐 비트 수임) 대한

| ϕ ⟩ = \sum_{j} \frac{β_{j}}{λ_{j}} | λ_{j} ⟩,

$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$

| b ⟩ = \sum_{j} β_{j} | λ_{j} ⟩

$\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$

2 π / T

$2\pi/T$

e^{- i A t}

$e^{-iAt}$

T = 2^{t}

$T=2^t$

t

$t$

ϕ_{y}

$\phi_y$

y \in {0, 1}^{t}

$y\in\{0,1\}^t$ 각 빈의 중심으로 작동하여 0 단계에 가까운 정확도를 크게 높일 수 있습니다. 보다 일반적으로, 위상 의 함수로서 오류에 대한 내결함성을 위해 절충 함수를 지정할 수 있습니다 . 그런 다음이 기능의 정확한 특성을 주어진 응용 프로그램 및 성공 여부를 결정하는 데 사용할 특정 성능 지수에 맞출 수 있습니다. Shor의 알고리즘의 경우, 우리의 장점은 단순히이 비닝 프로토콜이었습니다. 답변이 올바른 빈에 있고 외부에서 실패하면 성공했습니다. HHL의 경우에는 그렇지 않을 것입니다. HHL의 성공은 충실도와 같은 지속적인 측정으로보다 합리적으로 포착됩니다. 따라서 일반적인 경우 비용 함수

ϕ

$\phi$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$ true 단계가 경우 에 대한 페널티를 지정합니다 .

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ

$\phi$

표준 위상 추정 프로토콜은 대한 모든 기본 상태 의 균일 한 중첩 상태 인 입력 상태를 생성함으로써 작동했습니다 . 이 상태는 여러 개의 제어 된 게이트 의 순차적 인 적용을 제어하는 데 사용되었으며 , 그 뒤에 역 푸리에 변환이 이어졌습니다. 입력 상태를 다른 상태 나머지 프로토콜이 전처럼 작동합니다. 지금 은 기본 개념을 전달 하기 위해 새로운 상태 을 만드는 것이 얼마나 어려운지에 대한 질문은 무시할 것 입니다. 이 상태에서 시작하여 제어 된 $\ket{x}$ $x\in\{0,1\}^t$ $U$

| Ψ_{0} ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} | x ⟩,

$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

U

$U$ 게이트 (고유의 타겟팅 고유의 ) 상태 생성 역 푸리에 변환을 적용하면 대답 를 얻을 확률 (예 : )은 의 랜덤 분포를 가정하여 비용 함수의 예상 값이되도록 있다

U

$U$

ϕ

$\phi$

\sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} e^{i ϕ x} | x ⟩ .

$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$

\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{x, y \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{M})} α_{x} | y ⟩ .

$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$

y

$y$

ϕ^{'} = 2 π y / T

$\phi'=2\pi y/T$

\frac{1}{T} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2}

$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$

ϕ

$\phi$

\bar{C} = \frac{1}{2 π T} \int_{0}^{2 π} d ϕ \sum_{y \in {0, 1}^{t}} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2} C (ϕ, 2 π y / T),

$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$ 우리의 임무는 의 특정 실현을 위해 이것을 최소화 하는 진폭 를 선택하는 것 입니다. 가 의 함수일 뿐이라는 간단한 가정을 하면, 통합에서 변수를 변경하여 우리가 언급 한 바와 같이, 가장 유용한 측정 가능성 충실도를 측정 할 수있다. 상태가 이라고 가정 해 봅시다.

α_{x}

$\alpha_x$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

ϕ - ϕ^{'}

$\phi-\phi'$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} C (ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$

| + ⟩

$\ket{+}$ 단일 을 구현하려고하지만 대신 입니다. 충실도는 이것이 원하는 작업을 얼마나 잘 수행하는지 측정합니다. 따라서 이상적인 경우 이므로 최소화하려는 오류를 로 취할 수 있습니다 . 이것은 확실히 를 평가하는 올바른 기능이 될 것입니다

U_{ϕ} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$

U_{ϕ^{'}} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ^{'}} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$

F = {| ⟨ + | U_{ϕ^{'}}^{†} U | + ⟩ |}^{2} = \cos^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

C (ϕ - ϕ^{'}) = \sin^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

F = 1

$F=1$

1 - F

$1-F$

U^{t}

$U^t$ 그러나 위상뿐만 아니라 진폭을 수정하는보다 일반적인 작업의 경우 부정확 한 효과는 프로토콜을 통해 덜 사소한 방식으로 전파되므로 함수 은 이미 국가의 균일 한 중첩에 비해 약간의 개선을 제공 할 것입니다. 이 양식으로 진행하면서 이제 대한 적분을 수행 할 수 있으므로 함수를 최소화하려고합니다. 간결하게 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

C (ϕ - ϕ^{'})

$C(\phi-\phi')$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} \sin^{2} (\frac{1}{2} ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$

ϕ

$\phi$

\frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} α_{x} α_{y}^{⋆} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) .

$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$

min ⟨ Ψ_{0} | H | Ψ_{0} ⟩

$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$ 여기서 최적 선택 최소 고유 벡터 행렬의 인 , 이고 는 최소 고유 값 결정적으로, 큰 경우 는 균일 한 커플 링 선택 에서 얻을 수 있는 가 아니라 로 스케일됩니다.

H = \frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) | x ⟩ ⟨ y | .

$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

H

$H$

α_{x} = \sqrt{\frac{2}{T + 1}} \sin (\frac{(x + 1) π}{T + 1}),

$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$

\bar{C}

$\bar C$

\bar{C} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{T + 1}) .

$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$

T

$T$

\bar{C}

$\bar C$

1 / T^{2}

$1/T^2$

1 / T

$1/T$

α_{x} = 1 / \sqrt{T}

$\alpha_x=1/\sqrt{T}$ . 이로 인해 오류 분석에 상당한 이점이 있습니다.

HHL 논문에보고 된 것과 동일한 을 얻으려면 라는 용어를 추가해야한다고 생각합니다 해밀턴에게 . 그러나 그렇게 할 이유는 없지만 이것은 아마도 내 실패 일 것입니다. $|\Psi_0\rangle$ $-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$

— 다 프트 울리
소스

선형 방정식 시스템 (HHL09)에 대한 양자 알고리즘 : 2 단계- 은 무엇입니까 ?

질문 :

1. 정의

1.1 등록 명

2. :|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

3. :|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

4. 해밀턴 시뮬레이션 :

2. : $\left|\Psi_0\right>$

3. : $\left|\Psi_0\right>$