Toffoli 게이트 만 사용하여 CCCNOT 게이트 구현

CCCNOT 게이트는 처음 3 개의 비트가 모두 상태 경우에만 4 번째 비트를 뒤집는 4 비트 가역 게이트입니다 $1$ .

Toffoli 게이트를 사용하여 CCCNOT 게이트를 어떻게 구현합니까? 작업 공간의 비트가 해당 값으로 반환되면 특정 값 (0 또는 1)으로 시작한다고 가정합니다.

quantum-gate gate-synthesis

— 처 스터
소스

Toffoli 게이트 또는 Toffoli와 CNOT 만 사용 하는 것이 공정한 게임입니까?

— user1271772

Toffoli 게이트 만 허용됩니다.

— chuster

이 질문의 어느 부분이 양자입니까? CCCNOT (Classic Reversible Gate)를 더 작은 CCNOT (Classic Reversible Gate)로 분해하려고합니다.

— user1271772 2016 년

문제 자체는 양자 컴퓨팅과 관련이 없지만 게이트는 양자 회로에 중요합니다.

— chuster

나는 당신이 찾고있는 것이 다음 회로라고 생각합니다. 여기에서 $b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$ 및 $\oplus$ 는 덧셈 모듈로 $2$ 입니다.

여기서, 제 5 큐비 트는 보조 또는 ancilla 큐 비트로 사용된다 . 그것은에서 시작 $|0\rangle$ 과 끝 $|0\rangle$ 회로는인가되는 경우.

이 회로가 어떻게 작동하는지 자세히 설명하겠습니다. 아이디어는 우선 처음 두 큐 비트가 상태 $|1\rangle$ . 단일 Toffoli 게이트를 사용하여 수행 할 수 있으며 결과는 보조 큐 비트에 저장됩니다. 이제 문제는 큐 비트 뒤집기에 감소 $4$ 큐빗 때마다, $3$ 및 보조 큐 비트가에를 $|1\rangle$ . 이것은 또한 토 포리 게이트의 하나의 응용, 즉 상기 도시 된 회로의 중간의 응용을 사용하여 달성 될 수있다. 마지막으로 마지막 Toffoli 게이트는 보조 큐 비트에 저장된 임시 결과 를 계산 하여이 큐 비트의 상태가 $|0\rangle$ 회로가 적용된 후.

의견 섹션에서, 보조 큐 비트를 사용하지 않고 토 포리 게이트만을 사용하여 그러한 회로를 구현할 수 있는지에 대한 의문이 제기되었다. 이 질문은 내가 여기에 보여 주듯이 부정적인 것으로 대답 할 수 있습니다.

우리는 4 qubits에 작용 하는 $\mathrm{CCCNOT}$ gate 를 구현하려고합니다 . 우리는 다음의 행렬 (Pauli- $X$ gate 의 행렬 표현)을 정의 할 수 있습니다 : 또한,

엑스 = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 또한,

N

$N$ 차원 단위 행렬을

I_{N}

$I_N$ 합니다. 이제 우리는

C C C N O T

$\mathrm{CCCNOT}$ 는 4 qubits에 작용

gate다음

의 행렬 표현을 관찰 하여 결정자를 결정할 수 있습니다.

16 \times 16

$16 \times 16$ 매트릭스 :

씨 씨 씨 엔 영형 티 = [\begin{matrix} {나는}_{14} & 0 \\ 0 & 엑스 \end{matrix}]

$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$

데트 (씨 씨 씨 엔 영형 티) = - 1

$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$ 지금의 처음 세 큐빗에 작용하는 상기 Toffoli 게이트의 행렬 표현을 고려

4

$4$ 큐빗 시스템. 행렬 표현은 다음과 같이 작성됩니다 (우리는 행렬의 크로네 커 곱을 사용했습니다) :

티 영형 에프 에프 영형 엘 나는 \otimes {나는}_{2} = [\begin{matrix} {나는}_{6} & 0 \\ 0 & 엑스 \end{matrix}] \otimes {나는}_{2} = [\begin{matrix} {나는}_{12} & 0 \\ 0 & 엑스 \otimes {나는}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {나는}_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {나는}_{2} \\ 0 & {나는}_{2} & 0 \end{matrix}]

$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$ 의 결정 수율 계산 :

데트 (티 영형 에프 에프 영형 엘 나는 \otimes {나는}_{2}) = 1

$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$ Toffoli 게이트는 물론 다른 큐 비트에서 작동 할 수 있습니다. Toffoli 게이트가 첫 번째, 두 번째 및 네 번째 큐 비트에서 작동하도록한다고 가정합니다. 여기서 네 번째 큐비 트는 대상 큐 비트입니다. 그렇다면 우리는 하나의 새로운 행렬 표현의 세 번째와 네 번째 큐 비트 만 다른 상태에 대응하는 열을 교환함으로써 상기 표시 구, 즉

| 0001 ⟩

$|0001\rangle$ 와

| 0010 ⟩

$|0010\rangle$ ,

와

등. 여기서 주목해야 할 것은 열의 스왑 수가 짝수이므로 결정자가 변경되지 않는다는 것입니다. 큐 비트의 모든 순열을 연속 순열 시퀀스로 쓸 수 있으므로

큐빗 (즉,

| 0101 ⟩

$|0101\rangle$

| 0110 ⟩

$|0110\rangle$

2

$2$

S_{4}

$S_4$ 에서 트랜스 포지션에 의해 생성 된

S_{4}

$S_4$ ), 우리가 모든 Toffoli 게이트에 대한 제어 및 목표 큐 비트의 임의의 조합에 적용될 찾아 그것의 행렬 표현은 결정 갖는

1

$1$ .

마지막으로 행렬 곱셈 과 호환되는 두 행렬 와 대해 행렬식 곱셈, 즉 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 하여 행렬식을 결정합니다. 따라서, 다수의 Toffoli 게이트를 순차적으로 적용하는 것은 결코 매트릭스 표현이 과 다른 결정자를 갖는 회로를 생성하지 않는다는 것이 명백 해지고 , 이는 특히 $A$ $B$ $1$ $\mathrm{CCCNOT}$ 에서만 Toffoli 게이트 사용 -gate 구현 될 수없는 $4$ 큐빗.

이제 명백한 질문은 보조 큐 비트를 허용 할 때 무엇이 바뀌는가입니다. 우리는의 작용 쓰는 경우에 우리는 답을 찾을 $\mathrm{CCCNOT}$ A의 -gate $5$ : -qubit 시스템

씨 씨 씨 엔 영형 티 \otimes {나는}_{2} = [\begin{matrix} {나는}_{14} & 0 \\ 0 & 엑스 \end{matrix}] \otimes {나는}_{2} = [\begin{matrix} {나는}_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {나는}_{2} \\ 0 & {나는}_{2} & 0 \end{matrix}]

$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$ 이 행렬식을 계산하면 다음을 찾습니다.

데트 (씨 씨 씨 엔 영형 티 \otimes {나는}_{2}) = 1

$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$ OP가 요구 한 명시 적으로 구성된 회로 때문에 이미 알고 있었기 때문에큐 비트에이유입니다. 따라서, 결정의

C C C N O T

$\mathrm{CCCNOT}$ 에 작용 -gate

5

$5$ 큐 비트는

1

$1$ 대신에,

- 1

$-1$ . 이것이 이전 인수가

유효하지 않은 이유입니다

5

$5$

— 아리오 폴리스
소스

회로를 유도하는 데 사용되는 소스 또는 방법이 유용합니다!

— glS

이러한 회로를 포괄적으로 설계하는 방법을 설명하는 소스는 없습니다. 양자 컴퓨팅에 대해 배우는 것은 여기에서 찾을 수 있습니다 닐슨과 추앙과 강의 노트에 의해 도서있을 때 소스는 내가 사용 : homepages.cwi.nl/~rdewolf/qcnotes.pdf가 있지만, 이러한 소스는 특히 디자인에 초점을하지 않습니다 양자 회로의.

— arriopolis

회로가 어떻게 작동하는지 자세히 설명하려고했습니다. 이것이 이것과 비슷한 회로를 설계하는 데 도움이되기를 바랍니다! :)

— arriopolis

보조 장치없이 가능합니까?

— user1271772 2016 년

+ 1

$+1$

C C C N O T

$CCCNOT$

4

$4$

- 1

$-1$

C C C N O T

$CCCNOT$

+ 1

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