모두

[1] 상태의 정리 2 :

가정 $C$ 부가적인 자기 직교 서브 코드 $\textrm{GF}(4)^n$포함 $2^{n-k}$ 무게의 벡터가없는 벡터 $<d$ 에 $C^\perp/C$. 그런 다음 고유 공간$\phi^{-1}(C)$ 매개 변수가있는 추가 양자 오류 수정 코드입니다. $[[n, k, d]]$.

여기는 어디 $\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$ 이진 표현 사이의지도입니다 $n$Pauli 연산자 및 관련 코드 워드를 접습니다. $C$다음 과 같은 경우 자체 직교$C \subseteq C^\perp$ 어디 $C^\perp$ 의 이중 $C$.

이것은 각 첨가제 자체 직교 $\textrm{GF}(4)^n$ 클래식 코드는 $[[n, k, d]]$ 양자 코드.

내 질문은 그 반대입니다, 또한 사실 여부 : 모든가$[[n, k, d]]$ 부가적인 자기 직교로 표현되는 양자 코드 $\textrm{GF}(4)^n$ 클래식 코드?

또는 동등 : 어떤 있습니까$[[n, k, d]]$ 부가적인 자기 직교로 표현되지 않은 양자 코드 $\textrm{GF}(4)^n$ 클래식 코드?

[1] : Calderbank, A. Robert, et al. "GF 이상의 코드를 통한 퀀텀 오류 수정 (4)." 정보 이론에 관한 IEEE 거래 44.4 (1998) : 1369-1387.

스태빌라이저 양자 코드를 생성하기 위해 클래식 코드에 대한 부가적인 자기 직교 제약은 유효한 코드 공간을 생성하기 위해 스태빌라이저 생성기가 그들 사이에서 통근해야한다는 사실 때문에 필요하다. 클래식 코드에서 양자 코드를 생성 할 때 스태빌라이저에 대한 정류 관계는 자체 직교 클래식 코드를 갖는 것과 같습니다.

그러나 양자 코드는 비 직교 직교 고전 코드로부터 구성 될 수있다. $GF(4)^n$얽힘 지원을 통해. 이 구성에서, 임의의 고전적인 코드가 선택되고, 큐 비트 시스템에 일부 벨 쌍을 추가함으로써, 스태빌라이저 사이의 정류가 얻어진다.

모든 고전적 코드로부터 QECC를 구성하기위한이 얽힘 지원 패러다임은 arXiv : 1610.04013에 제시되어 있으며 , Brun, Devetak 및 Hsieh가 Science에 발표 한 "Quantum Errors with Entanglement"논문을 기반으로합니다.

질문은 부분적으로 표기법 문제로 볼 수 있습니다.

표기법 $[[n,k,d]]_D$코드 용으로 예약 된 경우가 많지만 항상 그런 것은 아닙니다. Calderbank 등의 논문에서 알 수 있듯이 qubit 스태빌라이저 코드는 부가적인 자체 직교 GF (4) ^ n 클래식 코드와 동일합니다. 이 구성은 일반화됩니다. 참조를 참조하십시오. Ketkar et al. 그리고 Ashikhmin과 Knill . 여기서 코드의 차원은$D^k$ quDits.

일부 저자는 $((n,K,d))_D$ 치수가있는 (안정제 및 비 안정제) 코드를 표시 $K$. 참고$K$ 그렇다면 반드시의 힘이 아니다 $D$.

Rains et al. 처음으로 건설했다$((5,6,2))$ 비 안정화 유형이며 5 큐 비트의 모든 안정기 코드보다 더 나은 코드 : 비교하면 가장 좋은 코드는 매개 변수가 있음 $[[5,2,2]]$따라서 치수입니다 $2^2 = 4 < 6$. Yu et al. 에서 비가 산 양자 코드에 대한 더 많은 예를 찾을 수 있습니다 . , 몰린 등. 그리고 Grassl과 Beth .