양자 회로에서 행렬 지수를 구현하는 방법은 무엇입니까?

아마도 순진한 질문 일 수도 있지만 양자 회로에서 실제로 행렬을 지수화하는 방법을 알 수는 없습니다. 일반 정사각 행렬 A 가 있다고 가정하면 지수 를 얻으려면 계열을 사용할 수 있습니다 $e^{A}$

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

근사치 나는 양자 게이트를 사용하여 동일한 작업을 수행하는 방법을 얻지 못하고 해밀턴 시뮬레이션을 수행하는 데 적용합니다. 도움?

— FSic
소스

를 입력으로 사용하고 또는 Hamiltonian 시뮬레이션을 출력 (즉, 단위 행렬이 인 회로를 구축하는) 양자 회로에 대해 이야기하고 있는지는 확실하지 않습니다 .

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— Nelimee 2016 년

내 잘못이야; 내가 의미하는 것은 행렬 A를 취하여 내 회로에 지수 를 갖기를 원합니다 .

e^{i A}

$e^{iA}$

— FSic 2016 년

질문 재구성 :

일반 정사각 행렬 에 대해 Hamiltonian Simulation을 수행하는 방법은 무엇입니까? $A$

빠른 답변 : 불가능합니다.

Hamiltonian Simulation (HS)의 목표 는 양자 상태에서 처럼 작동하는 양자 회로 (즉, 게이트의 연속)를 입니다. 여기서 는 (양자 게이트의 특성 때문에) 단일이어야하고 따라서 도 단일이어야합니다. $U(t) = e^{-iAt}$ $U(t)$ $e^{-iAt}$

따라서 HS 알고리즘은 행렬 에만 적용 할 수 있으며 는 단일입니다. 모든 은자 행렬은이 속성을 만족하지만 모든 속성을 만족 하지는 않습니다. 문제에 제한은 문제 일 수도 있고 아닐 수도 있지만 이 단일이 아닌 경우 HS를 사용할 수 없습니다 . $A$ $e^{-iAt}$ generic square matrix $e^{-iAt}$

예를 들어 , 시스템 을 사용 하는 HHL 알고리즘 ( 서브 루틴 으로 HS를 사용 하는)의 경우, 이 단일하지 않으면 대신 문제를 고려할 수 있습니다 HHL로 해결 (현재 가능한 새로운 매트릭스로 인해 에르 미트이다) 및 복구 . $A$ $Ax=b$ $e^{-iAt}$

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$

C

$C$

x

$x$

흥미로운 질문은 다음과 같습니다.

주어진 은자 행렬 에 대해 Hamiltonian Simulation을 수행하는 방법은 무엇입니까? $A$

대답은 의 속성에 따라 다릅니다 . $A$

이것은 거대한 연구 주제이며 그것에 대해 할 말이 많이 있습니다. 나는 여기에 모든 방법을 제시하지는 않을 것입니다. 그것들은 매우 복잡하고 모든 방법을 이해하지 못했습니다. 다음은 HS와 관련이 있고 HS로 시작하기에 흥미로운 논문 / 발표 목록입니다.

소형 양자 컴퓨터에서 해밀턴 역학 시뮬레이션 : HS에 대한 슬라이드. 프레젠테이션 일지라도 Hamiltonian Simulation에서 찾은 가장 완벽한 소스입니다. 3 가지 방법을 빠르게 제시하고 각 방법마다 흥미로운 논문을 인용합니다.
양자 알고리즘에 관한 강의 노트 (2017 년 Andrew M. Childs) : 최근에 완성 된 것. HS는 25 장 (123 페이지)에서 설명합니다.
희소 해밀턴 시뮬레이션을위한 정밀도의 기하 급수적 개선 : 1에 제시된 3 가지 방법 중 하나를 자세히 보여줍니다.
스파 스 해밀턴 (Sparse Hamiltonian) 시뮬레이션을위한 효율적인 양자 알고리즘 : 1에 제시된 3 가지 방법 중 하나를 자세히 보여줍니다.

— 넬리 미
소스

특히 참고 문헌에 대해 감사합니다, 나는 그들을 참조 할 것입니다!

— FSic

첫 번째 참조로 시작하는 것이 좋습니다. 가장 완벽하며 다른 기사에 대한 링크를 제공합니다. 저에게는 (개인의 관점에서) Trotter-Suzuki 공식을 사용한 첫 번째 기술이 가장 이해하기 쉽습니다. 그러나 그것은 당신에게 동일하지 않을 수 있습니다!

— Nelimee

모든 은자 행렬은이 속성을 만족시킨다 :보다 구체적으로, 오직 모든

— 은자