게이트 세트에 대한 보편성을 증명 / 반증하는 방법은 무엇입니까?

범용 게이트 세트는 충분한 게이트가 주어지면 다른 게이트 유형의 작동을 모방 할 수 있습니다. 예를 들어, 범용 양자 게이트 세트는하다 마드 (   ), 위상 시프트 (   ) 및 게이트입니다. , 또는 와 같은 게이트 집합의 보편성을 어떻게 반증하거나 증명할 수 있습니까?$H$$\pi/8$$T$$\mathrm{CNOT}$$\{H,T\}$$\{\mathrm{CNOT},T\}$$\{\mathrm{CNOT}, H\}$

보편성은 증명하기가 매우 까다로운 미묘한 것일 수 있습니다. 이를 증명하는 데 일반적으로 두 가지 옵션이 있습니다.

• 선택한 게이트를 사용하여 임의의 크기로 임의의 단일 단위를 구성하는 방법 (구성 크기에 제한이 없으며 수행 할 수 있음)을 직접 표시하여 Hilbert 전체의 사소한 하위 공간에 대한 임의의 정확도 우주).

• 선택한 게이트 세트를 사용하여 기존 범용 세트를 (임의의 정확도로) 재현하는 방법을 보여줍니다.

반대로, 당신이 그것을 반증하고 싶다면, 당신은 게이트 집합의 효과가 (가정) 적은 계산 모델, 일반적으로 고전적인 계산에 의해 항상 시뮬레이션 될 수 있음을 보여줍니다.

안내에 사용할 수있는 몇 가지 휴리스틱이 있습니다.

• 세트에 멀티 큐빗 게이트가 있어야합니다. 단일 큐 비트 게이트 만 있으면 클래식 컴퓨터에서 각 큐 비트를 독립적으로 시뮬레이션 할 수 있습니다. 따라서 양자 컴퓨터가 고전보다 강력하다고 생각한다면, 단일 큐 비트 게이트만으로는 양자 계산에 보편적이지 않습니다. 이것은 {H, T}를 배제합니다.

• 중첩을 만드는 게이트가 있어야합니다. 이것은 {CNOT, T}를 배제합니다. 다시 말하지만, 이것은 관련없는 전역 단계가 추가 된 고전적인 계산입니다.

물론, 이것만으로는 충분하지 않습니다 : 세트 {H, S, CNOT}도 효율적으로 시뮬레이션 할 수 있습니다 (Gotesman-Knill 정리 참조). {H, CNOT}도 서브 세트이므로 적용 할 수있는 조작은 원래 세트의 조작보다 크지 않아야합니다.

내가 가장 흥미롭게 생각하는 보편적 인 집합 중 하나는 {Toffoli, H} 입니다. 이것이 충분하다는 사실은 항상 놀랍습니다 (특히 이전 세트와 비교할 때). 복소수는 포함되지 않습니다.

와 같은 단일 2 큐빗 게이트 에서 보편성을 얻을 수도 있습니다.

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

Nielsen and Chuang, 10 주년 에디션 pg 191 :

우리는 차원 힐버트 공간 의 임의의 단일 행렬이 2- 레벨 단일 행렬의 곱으로 쓰여질 수 있음을 보여 주었다 . 이제 단일 큐 비트와 CNOT 게이트를 함께 사용하여 큐 비트 의 상태 공간에서 임의의 2 단계 단일 연산을 구현할 수 있습니다 . 이러한 결과들을 결합하여 단일 큐 비트 및 CNOT 게이트가 큐 비트 에서 임의의 단일 연산을 구현하는 데 사용될 수 있으므로 양자 계산에 보편적 이라는 것을 알 수 있습니다 .n $d$$n$$n$

첫 번째 문장에는 허용되는 결과가 있으므로 게이트 세트 조합이 "임의의 2 단계 단일 연산"을 구현할 수 있음을 간단히 보여 주어야합니다. 위키 백과를 인용하려면 :

기술적으로, 가능한 양자 게이트의 수는 셀 수없고, 유한 세트로부터의 유한 시퀀스의 수는 셀 수 있기 때문에 불가능하다. 이 문제를 해결하려면이 유한 세트의 게이트 시퀀스로 모든 양자 연산을 근사 할 수 있으면됩니다.

이 백서를 참조하십시오 .