로컬 Clifford 동등성이 비 프라임 차원의 qudit 그래프 상태에 대한 직접적인 그래픽 표현을 가지고 있습니까?

이 질문은 이전 QCSE 질문에 대한 후속 조치입니다. " qudit 그래프 상태는 기본이 아닌 차원에 대해 잘 정의되어 있습니까? " 질문의 대답에서 차원 퀴트를 사용하여 그래프 상태를 정의하는 데 아무런 문제가없는 것으로 보이지만 그래프 상태의 다른 정의 측면은 비 프라임 차원으로 유사하게 확장되지 않는 것으로 보입니다. $d$

특히, 큐 비트 그래프 상태의 경우 유병률과 사용의 주요 측면은 다음과 같습니다. 두 그래프 상태는 하나의 그래프를 다른 그래프로 가져 오는 로컬 보완 시퀀스가있는 경우에만 로컬 Clifford와 동일합니다 . 무 방향 그래프). 말할 것도없이, 이것은 양자 오류 수정, 얽힘 및 네트워크 아키텍처 분석에 매우 유용한 도구입니다.

-qudit 그래프 상태를 고려할 때 이제 등가 그래프는 인접 행렬 가중치가 적용됩니다. 여기서 는 간선의 가중치 ( 함께 )에는 가장자리를 나타내는 존재하지 않는다. qudit의 경우 는 도시 한 LC 당량 마찬가지로 로컬 상보성의 일반화 (확장 될 수 있다는 에지 승산 연산) 및 포함 ( :), 여기서이 $n$ $A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$ $A_{ij}$ $(i,j)$ $A_{ij}=0$ $\ast_a v$ $\circ_b v$

\begin{aligned} ※_{ㅏ} V & : ㅏ_{나는 제이} \mapsto ㅏ_{나는 제이} + ㅏ ㅏ_{V 나는} ㅏ_{V 제이} \forall 나는, 제이 \in 엔_{지} (V), 나는 \neq 제이 \\ \circ_{비} V & : ㅏ_{V 나는} \mapsto 비 ㅏ_{V 나는} \forall 나는 \in 엔_{지} (V), \end{aligned}

$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$ 여기서

a, b = 1, \dots, d - 1

$a, b = 1, \ldots, d-1$ 및 모든 산술이 modulo

수행

p

$p$ 됩니다.

그래픽으로, 이것은 다음 작업으로 표시됩니다 ( 참조 2 에서 재현 ).

그러나 그래프 상태가 프라임이 아닌 차원의 쿼트에 정의 된 경우 이러한 연산이 (같은 것으로 간주 됨) LC 동등성을 나타내지 않음을 알 수 있습니다.

예를 들어, qudit 상태를 취할 그래프에 도시 . qudit 치수에 대한 정의도 1, 및하자 ,되도록 . 이 경우 을 수행 한 다음 , 따라서 qudit 로컬 오퍼레이션을 사용하는 모든 다른 qudits으로부터 해방 된된다. 분명히 이것은 잘못된 것이며 이전 질문의 답변 에서 언급 한 제로 제로 문제 때문에 발생합니다 . $|G\rangle$ $G$ $d=4$ $x=y=z=2$ $A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$ $\circ_2 1$ $A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$ $1$

내 질문은 : 가 어떤 제대로 비 프라임 차원의 qudit 그래프 상태에 대한 지역 클리포드 등가을 나타내는 것을 그래프 작업 세트는?

참고 : 나는 주로 Sec. 6에 제안 된 것처럼 여러 원시 차원 그래프 상태로 분해하는 것이 아니라 단일 가중치 그래프로 상태 를 직접 적용하는 작업에 관심 이 있습니다. " 절대 최대로 얽힌 Qudit 그래프 상태 "의 4.3 .

entanglement qudit graph-states

— SLESSLYTALL
소스

새 태그 graph-states 를 만들었으므로 태그 위키를 작성할 수 있습니까? 여기로 가십시오 . 감사합니다.

— Sanchayan Dutta

이 문맥에서 모듈로 산술을 사용하는 것은 올바르지 않습니다. 대신 유한 필드 산술을 적용해야합니다. 에서는 여기서 과의 접합 로 정의 . $\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$ $x^2 = x + 1$ $a$ $\bar{a} = a^2$

덧셈, 곱셈 및 활용 테이블은 다음과 같습니다.

이 사진에서는이 , , 및 이되도록 및 외관상 불일치가 발생하지 않게. $0 \equiv 0$ $1 \equiv 1$ $2 \equiv x$ $3 \equiv x^2$ $2 \times 2 = 3$

— SLESSLYTALL
소스

여기서 "2"의 정의는 무엇입니까? 다른 어떤 규칙 부재 , I는 추정 것 에서 케이스 입니다.

F = G F (4)

$\mathbb F = GF(4)$

2 := 1_{F} + 1_{F} = 0_{F} =: 0

$2 := 1_{\mathbb F} + 1_{\mathbb F} = 0_{\mathbb F} =: 0$

2 \times 2 = 0

$2\times 2 = 0$

— Niel de Beaudrap

나는 명확한 편집을 추가했습니다 :)

— SLesslyTall