양자 위상 추정 및 HHL 알고리즘-고유 값에 대한 지식이 필요하십니까?

양자 위상 추정 알고리즘 (QPE)은 양자 게이트의 소정의 고유 벡터에 관련된 고유치의 근사치 계산 .$U$

공식적으로하자 의 고유 벡터 수 , QPE은 우리가 찾을 수 있습니다 , 최고의 비트 근사 등이 에서 $\left|\psi\right>$$U$$\vert\tilde\theta\rangle$$m$$\lfloor2^m\theta\rfloor$$\theta \in [0,1)$

$$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$$

HHL 알고리즘 ( 원본 용지 ) 입력으로 매트릭스 얻어 충족 된 것으로 과 양자 상태 및 계산해 그 코딩하는 선형 시스템의 솔루션 .$A$

$$e^{iAt} \text{ is unitary }$$ $\vert b \rangle$X = $\vert x \rangle$$Ax = b$

말 : 모든 은자 행렬은 의 조건을 안정화시킵니다 .$A$

이를 위해 HHL 알고리즘은 표시되는 양자 게이트에서 QPE를 사용합니다 . 선형 대수 결과 덕분에 가 의 고유 값 이면 는 의 고유 값임을 알 수 있습니다. 이 결과는 양자 선형 시스템 알고리즘 에도 설명되어 있습니다 : 프라이머 (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (29, 방정식 68과 69 사이).$U = e^{iAt}$$\left\{\lambda_j\right\}_j$$A$$\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$$U$

QPE의 도움 HLL 알고리즘의 제 1 단계는 추정하려고한다 되도록 . 이로 인해 방정식 즉 조건 및 의 영향을 약간 분석하여 , 나는 (즉, )이면 위상 추정 알고리즘이 실패 한다는 결론으로 ​​끝났습니다. 올바른 고유 값을 예측하십시오.$\theta \in [0,1)$$e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$

$$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$$ k ∈ Z θ ∈ [ 0 , 1 ) λ j $$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$$ $k\in \mathbb{Z}$$\theta \in [0,1)$k≠$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$$k \neq 0$

그러나 는 에르 미트 행렬 일 수 있기 때문에 고유 값을 자유롭게 선택할 수 있으며 특히 QPE가 실패 할 정도로 임의로 대해 큰 고유 값을 선택할 수 있습니다 ( ).A λ j$A$$A$$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

에서 양자 회로 설계 방정식 (카오, Daskin, 프랭클 & 카이스, 2012)의 선형 시스템을 해결하기위한 그들은 시뮬레이션하여이 문제를 해결 의 고유 것을 알고 있습니다 입니다. 그들은 의 경우를 피하기 위해 행렬과 고유 값을 정규화 했습니다 . A{1,2,4,8}λj$e^{\frac{iAt}{16}}$$A$$\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

다른 한편으로, 이 정규화를 위해 파라미터 가 사용될 수있는 것처럼 보인다 .$t$

질문 : 음주 우리가 필요로 a의 고유 값의 상한선 알고 행렬을 정상화하고 있는지 HHL 알고리즘의 QPE 부분이 성공할 것이라고 할 수 있나요? 그렇지 않은 경우 QPE가 성공하도록 어떻게 보장 할 수 (예 : )?λ j$A$$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

고유 값 (상한 및 하한)에 대한 경계를 알아야합니다. 당신이 말한 것처럼, 당신은 를 재조정하여 를 정규화 할 수 있습니다 . 실제로, 가능한 가장 정확한 추정값을 얻으려면이 값을 값을 전체 범위로 분산시켜야 합니다. 고유 값의 경계를 정하는 것은 일반적으로 문제가되지 않습니다. 예를 들어, 행렬 가 희소해야하므로 각 행에 0이 아닌 행렬 요소가 너무 많지 않아야합니다. 실제로 문제 스펙은 아마도 행 당 0이 아닌 항목 의 수 과 항목 의 최대 값에 대한 경계를 제공합니다 .t λ t 2 π A N $A$$t$$\lambda t$$2\pi$$A$$N$$Q$

그런 다음 Gershgorin의 원 정리와 같은 것을 적용 할 수 있습니다. 이것은 최대 고유 값이 의해 이고 최소값은 의해 하한 의 행렬 요소 .

$$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$$ I의 $$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$$ $a_{ij}$$A$

, 값 내에서 큰 행렬 ( qubits)에 대해 걱정 하는 경우 행 합계를 계산하기 쉽지만 (항목이 많지 않기 때문에) 모든 행의 최대 값은 오래 걸릴 수 있습니다 ( 행 이 있기 때문에) 시간에 대한 근사치를 구하는 다양한 방법이 있습니다 (예 : 샘플링 또는 문제 구조에 대한 지식 사용). 최악의 경우 Grover의 검색 을 사용 하여 속도를 높일 수 있습니다.Q n 2 $N$$Q$$n$$2^n$