얽힌 Qubits에 CNOT 게이트

양자 컴퓨팅을 사용하여 상태에 대해 GHZ (Greenberger-Horne-Zeilinger) 상태를 생성하려고했습니다. (N times) $N$ $|000...000\rangle$

제안 된 솔루션은 먼저 첫 번째 큐빗에 Hadamard Transformation을 적용한 다음 다른 모든 큐빗의 첫 번째 큐 비트로 CNOT 게이트 루프를 시작하는 것입니다.

이 Hadamard 변환 후 여기에 형성되는 Bell state 과 같이 얽힌 쌍의 일부인 경우 CNOT ( )를 수행하는 방법을 이해할 수 없습니다 . $q_1,q_2$ $q_1$ $B_0$

코드를 작성하는 방법을 알고 있지만 대수적 으로이 방법이 왜 정확하고 어떻게 수행됩니까? 감사.

quantum-gate entanglement quantum-state

이 Hadamard 변환 후 여기에 형성되는 Bell state 과 같이 얽힌 쌍의 일부인 경우 CNOT ( )를 수행하는 방법을 이해할 수 없습니다 . $q_1,q_2$ $q_1$ $B_0$

핵심은 관련 양자 게이트 (들)를 적용 할 때 계산 기준 상태 (또는 그 문제에 대한 다른 완전한 기준 상태 세트)에 어떤 일이 발생하는지 주목 하는 것이다 . 상태가 얽히거나 분리 가능한지 여부는 중요하지 않습니다. 이 방법은 항상 작동합니다.

하자가 고려 (두 개의 큐 비트의 -qubit 벨 상태 와 ) $2$ $A$ $B$

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)

$|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$

CNOT | Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 10 ⟩)

$\operatorname{CNOT}|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle)$

편집 :

당신은 당신이 얽힌 상태의 두 개의 큐 비트 중 하나 원하는 코멘트에 언급 역할을하는 컨트롤 (그리고 NOT 연산이 다른 큐 비트에 적용됩니다, 라고 , 제어에 따라 ). $|\Psi\rangle$ $C$

이 경우에도 위와 유사한 방식으로 진행할 수 있습니다.

아래쪽 쓰기 -qubit 결합 상태를 : $3$

| Ψ ⟩ \otimes | 0 ⟩_{C} = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} + | 1 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B}) \otimes | 0 ⟩_{C}

$|\Psi\rangle\otimes |0\rangle_C = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A\otimes |0\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B)\otimes |0\rangle_C$

= \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} \otimes | 0 ⟩_{C} + | 1 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B} \otimes | 0 ⟩_{C})

$= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A\otimes |0\rangle_B\otimes |0\rangle_C+ |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B\otimes|0\rangle_C)$

가 제어 큐비 트라고 가정 해 봅시다 . $B$

따라서 상태는 다음과 같습니다.

\frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} \otimes | 0 ⟩_{C} + | 1 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B} \otimes | 1 ⟩_{C})

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B\otimes|0\rangle_C + |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B\otimes|1\rangle_C)$

이것이 큐빗 의 Greenberger–Horne–Zeilinger 주 입니다 ! $3$

— 산차 얀 두타
소스

얽힌 쌍에 CNOT를 적용하려는 경우이 방법을 사용할 수 있습니다. 그러나 나는 그것을하고 싶지 않습니다. 내가 원하는 것은 얽힌 상태 의 첫 번째 큐 비트 (분리 할 수 없으므로 q1이라고 부를 수 없음)를 가져 와서 그 (q1) 및 다른 큐 비트에 CNOT를 적용하는 것입니다 . 가능하면 행렬 형태의 곱셈을 보여주십시오. 다시 감사합니다.

B_{0}

$B_0$

| 0 >

$|0>$

— Satvik Golechha

@SatvikGolechha ( 제어 된 게이트 게이트 의 제어 큐 비트) 를 고려하고있는 또는 "다른 큐 비트"? 대답은 그것에 달려 있습니다.

q 1

$q1$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

— Sanchayan Dutta

을 제어 비트로 간주 하고 있습니다. 그리고 내가 직면하고있는 어려움은 분리 할 수 없기 때문에 CNOT 게이트가 과 무엇을하는지 알 수 없다는 것 입니다.

q 1

$q1$

q 1

$q1$

q 1

$q1$

| 0 >

$|0>$

— Satvik Golechha

@SatvikGolechha 답변을 업데이트했습니다. 지금 은요?

— Sanchayan Dutta

무리 감사! Tensor 제품 속성을 사용하면 모든 것이 매우 명확 해지며 이제는 아름답게 맞습니다. 이 답변을 수락 된 것으로 표시했습니다.

— Satvik Golechha

ψ_{1} = | 000 ⟩ ψ_{2} = (H \otimes I \otimes I) ψ_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes | 00 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 100 ⟩) ψ_{3} = ({CNOT}_{12} \otimes I) ψ_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 110 ⟩) ψ_{4} = ({CNOT}_{13} \otimes I_{2}) ψ_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 111 ⟩)

$\psi_1 = |0 0 0 \rangle\\ \psi_2 = (H \otimes I \otimes I) \psi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0 \rangle + |1 \rangle) \otimes |0 0 \rangle\\ = \frac{1}{\sqrt{2}} ( |0 0 0 \rangle + |1 0 0 \rangle)\\ \psi_3 = (\operatorname{CNOT}_{12} \otimes I) \psi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0 0 0 \rangle + |1 1 0 \rangle)\\ \psi_4 = (\operatorname{CNOT}_{13} \otimes I_{2}) \psi_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0 0 0 \rangle + |1 1 1 \rangle)\\$

$\operatorname{CNOT}_{ij}$ 자체에 연산자 주는 큐빗 단위 행렬. 형식이 아닌 모든 주에 적용 할 수 있습니다 . 고전 가역 컴퓨팅 의 측면에서 수행 할 작업을 알고있는 계산 기준으로 계수를 작성하십시오 . 그런 다음 선형성 코를 따르십시오. $2$ $4\times 4$ $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ $q_i \otimes q_j$ $\operatorname{CNOT}_{ij}$

— 아우 사인
소스