희소 한 Hamiltonians 시뮬레이션의 장점

이 질문에 대한 @DaftWullie의 대답에서 그는 이 기사 에서 예로 사용 된 매트릭스를 양자 게이트로 표현하는 방법을 보여주었습니다 . 그러나 실제 예제에서 이와 같이 체계적으로 구성된 행렬이 없을 가능성이 높기 때문에 Hamiltonian을 시뮬레이트하는 다른 방법을 모색하려고했습니다. 나는 여러 기사에서 Aharonov와 Ta-Shma 가이 기사에 대한 언급을 찾았습니다. 여기서 @Nelimee가 스파 스 시뮬레이션하는 데 약간의 이점이 hamiltonians을. 그러나이 기사를 읽은 후에는 희박한 hamiltonians의 시뮬레이션을 수행하는 방법을 이해하지 못했습니다. 문제는 일반적으로 그래프 채색 중 하나로 표시되지만 프레젠테이션을 볼 수도 있습니다. @Nelimee는 매트릭스 지수를 연구하기 위해 읽도록 제안했지만,이 모든 것은 제품 공식을 통해 규모를 떨어 뜨립니다.

예를 들어, 다음과 같은 임의의 행렬을 봅시다.

이것은 은둔자가 아니지만 Harrow, Hassidim 및 Lloyd의 제안을 사용하여 은둔 행렬을 구성 할 수 있습니다.

ㅏ = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 삼 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

이제 8x8, 2-pars hermitian 행렬이 있습니다.

제품 공식 방법 이외의 다른 방법으로 진화를 시뮬레이션 할 수 있습니까?
제품 공식을 사용하더라도 희소하다는 사실을 어떻게 이용합니까? 0이 아닌 항목이 적기 때문에 기본 게이트의 제품을 찾기가 더 쉬울까요?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
소스

희소 행렬이 유용하다는 것을 암시하는 통찰력은 다음과 같은 선을 따른다. 어떤 에 대해서도 개별 성분이 모두 출퇴근 (대각선 화를 간단하게 함)하는 세트로 분해 할 수있다 . 행렬이 희소 한 경우 너무 많은 별개의 가 필요하지 않습니다 . 그런 다음 해밀턴 진화를 시뮬레이션 할 수 있습니다. $H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

여기서

입니다. 예를 들어, 귀하의 경우

가질 수 있습니다

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

(3 스파 스 해밀턴이라는 사실에 해당하는 3 개의 용어). 여기에 전략이 있다고 생각합니다. 해밀턴의 0이 아닌 모든 행렬 요소를 살펴보고 그룹화하여

로 좌표를 쓰면항상 복합 복소수 쌍을 포함하여 계속 추가합니다. 집합 내 다른 원소

도 제공

나

동일

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$ 또는

.. 이것이 대한 의미

해밀 -sparse 경우가

다른

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

문제는 이것이 실제로 실제로 직접적으로 작동하지는 않는다는 것입니다. 우선, 기하 급수적으로 많은 행렬 요소가 필요하지만 항상 설정하는 방식에 따라 달라집니다.

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

$\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— 다 프트 울리
소스

내가 이해하지 못한 두 가지 : 1) 항상 복합 켤레 쌍을 포함한다고 말할 때 무엇을 의미합니까? 2) 오라클이 제공 한 직책에 대한 지식은 어떤 방식으로 우리를 도울 수 있습니까? 분해 된 해밀턴을 대표하는 일련의 일원을 결정하도록 도와 주었습니까?

— FSic

@ F.Siciliano (2) 오라클의 지식은 매트릭스의 모든 요소를 거치지 않고 0이 아닌 요소를 찾는 대신 매트릭스의 0이 아닌 요소 만 처리 할 수 있기 때문에 도움이됩니다.

— DaftWullie

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$