양자 컴퓨터가 Rubik 큐브 그룹의 혼합 시간을 쉽게 결정할 수 있습니까?

Rubik의 큐브 토너먼트 담당자는 큐브를 스크램블하는 두 가지 방법을 사용했습니다. 현재, 그들은 떨어져 큐브를 파괴하고 임의의 순서로 cubies을 재 조립 $\pi\in G$ 루빅의 큐브 그룹의 $G$ . 이전에, 그들이 임의의 순서 적용될 $g$ Singmaster 이동의 $\langle U,D, F, B, L, R\rangle$ .

$t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

양자 컴퓨터가 루빅스 큐브 그룹의 혼합 시간 를 결정하는 데 어떤 이점이 있습니까?$t$

나는 우리가 레지스터 $\vert A \rangle$ 을 모든 $\Vert G\Vert$ 와 같은 균일 한 중첩 으로 만들기 위해 일련의 영리한 일련의 Hadamard 움직임을 가질 수 있다고 생각한다 . 따라서 Singmaster로 이동 중 어느 시퀀스인가 $\vert A \rangle$ 변하지 않는다 $\vert A \rangle$ .

믹싱 시간 가 무엇인지에 대한 추측 가 있다면 , 길이 의 모든 Singmaster 단어의 균일 한 중첩으로 또 다른 레지스터 을 생성하고 각 단어를 해결 된 상태에 조건부로 적용 할 수 있습니다 , 희망 상태 얻을 예컨대, 우리가 측정하는 경우 상기 각 구성이 동일 확률을 측정하여야한다. 만약 , 우리는의 케일리 그래프를 따라 걸어되지 않습니다 충분히에 대한, 우리가 측정 할 수 있다면$t'$$t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$, 해결 된 상태에 "가까운"구성이 더 가능성이 높습니다. 일부 영리한 푸리에-식으로 변환 분산하는 방법을 균일하게 측정 할 수 있습니다 이다.$\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

나에게 이것은 양자 컴퓨터가 잘하는 것 같은 느낌이 든다. 예를 들어, 균일에서 모든 단어 혼합되지 하고 일부 구성 가능성 다른 예보다 "상수"이상이고; 반면 이 모든 보행에 의해 완전히 혼합 된 경우 은 더 "균형"입니다. 그러나 양자 알고리즘과 Markov 체인에 대한 나의 취지는 매우 멀어 질 정도로 강력하지 않습니다.$\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

편집하다

이 질문을 양자 매듭 검증 문제와 대조하십시오.

양자 매듭 검증에서, 상인은 특정한 불변성을 갖는 모든 매듭 의 상태로 동전을 받는다 . 양자 동전을 확인하기 위해, 그녀는 마르코프 체인 적용 전환에 에 자체 (유효한 동전의 경우.) 그녀는이 마르코프 체인을 적용하고 적어도 결과 측정해야 시간을하지만, 그렇지 않으면 그녀는있다 방법은 구성하는 그녀를 (그녀가 동전을 위조 할 수 않도록.) 그녀가 유효한 동전을 주어 그래서 경우 자신에, 그녀는 그녀가있는 상태의 주어진 그녀의 소유에 생성 할 수 없습니다 A와 같은 마르코프 체인과 함께를, 매트릭스 이고, 아마도 혼합 시간$\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; 그녀는 이 유효한지 테스트해야 합니다.$\vert K \rangle$

현재 질문에서, 모든 Rubik의 큐브 순열의 을 생성하는 것은 매우 쉽습니다 . Singmaster 움직임 의 Markov 체인에 해당하는 양자 회로는 라고도 할 수 있습니다. 그러나, 혼합 시간 ( 은 알려져 있지 않으며, 결정되어야 할 것이 하나이다.$\vert RC \rangle$$S$$t$

"x에 대한 양자 알고리즘이 있습니까?"보다 더 나은 흥미로운 질문입니다. 질문. 기존 양자 알고리즘을 모르겠습니다. 일반적인 첫 번째 시도라고 생각되는 내용과 실패한 이유를 설명하겠습니다. 마지막으로 몇 가지 개선으로 이어질 수있는 몇 가지 사항을 설명하겠습니다.

알고리즘의 첫 번째 시도

특정 혼합 시간 를 테스트하고 싶다고 가정 해 봅시다 . 루빅스 큐브의 가능한 모든 구성을 담을 수있는 충분한 작업 공간을 포함하는 레지스터 하나를 만들겠습니다 . 이 상태는 큐브의 시작 상태에 해당하는 제품 상태입니다.$t$$RC$

그럼 내가 만들거야 ancilla 레지스터 에 . 이들 각각은 가능한 Singmaster 이동 수와 동일한 크기이며 가능한 모든 기본 요소에 걸쳐 균일 한 중첩으로 준비됩니다. 그런 다음 각 에 대해 에서 까지 제어 단위를 적용합니다. 여기서 레지스터 는 적용되는 Singmaster 이동을 지정합니다 .$t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

이 모든 후, 우리가 보면 혼합이 원하는대로 일어난다면 그것은 최대 혼합 상태에 있어야합니다. 문제는이 출력이 최대 혼합 상태인지 여부를 테스트하는 방법입니다. 이것과 같은 유용한 기술 이 있지만, 우리는 어느 정도의 정확성을 요구합니까? 우리는 확신하기 위해 약 가 필요할 것입니다.$RC$$|A|^t$

실제로, 이런 방식으로 일하는 것은 고전적으로하는 것만 큼 나쁩니다. 각 의 초기 상태 를 바꿀 수 있으며 결과가 바뀌지 않습니다. . 그러나 이것은 실제로 매번 무작위로 선택하고 여러 번 실행하여 올바른 출력 분포를 확인하는 것과 같습니다.$A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

가능한 개선

• 내가 설명한대로 실행하면 출력 밀도 매트릭스 ( )는 대각선이어야합니다. 균일 중첩가 그 수단 시스템이 최대한 혼합 경우만 모든 기저 상태 이상을 고유 상태이다. 이 관찰을 일종의 진폭 증폭과 결합하여 약간의 속도 향상을 얻을 수 있다면 좋을 것입니다. 참고 에서 매우 빠르게 변화를 축적은 상태가 고유하지 않은 경우.$\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• 그 외에도, 당신은 아마도 ancilla 레지스터로 더 똑똑한 일을해야 할 것입니다. Rubik의 큐브에 상당히 많은 그룹 구조가 내장되어 있기 때문에 이것이 가능할 것이라는 희망이 있습니다. 시도 할 수있는 한 가지 방법은 모든 ancilla 레지스터를 단일 레지스터로 교체 할 수 있는지 확인하는 것 입니다. 각 제어 단위 라운드 사이에서 레지스터의 모든 큐 비트에 Hadmard 게이트를 적용하십시오. 이 모든 것이 내 원래 제안과 비교하여 큐 비트 수 측면에서 효율성을 높이는 것입니다. 그렇게하지 않을 수도 있습니다.$t$

그중 하나가 직접 작동하든 모르겠습니다. 여전히 중요한 원칙은 유용한 그룹 구조를 찾고 진폭 증폭을 적용 할 수있는 방법을 찾는 것입니다.

단일 디자인 에 대해 읽어 보는 것이 유용 할 수 있습니다 . 이것은 우리가 여기서 이야기하는 것과는 분명한 문제이지만 일부 기술 도구가 유용 할 수 있습니다. 대략적으로 말하면, 아이디어 unitaries 세트이다 인 - 디자인이 unitaries의 임의의 어플리케이션이 하나의 출력 함수에합니다 (하르 측도로부터 인출) 진정한 랜덤 유니 터리을 시뮬레이션 할 수있는 경우 확장 할 때, 이는 사용 Taylor 시리즈는 최대 까지 정확합니다 . 여기서 대략적인 연결은 Singmaster 움직임 의 시퀀스를 나타내는 단위 를 로 가져 가면이 세트가 2- 디자인이면 충분하다는 것입니다 ($\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$$\text{Tr}(\rho^2)$ 맞습니다.)

(자가 답변에서 담당자를 피하기 위해 CW)

@DaftWullie의 답변과 @Steven Sagona의 의견 에 따라 두 당사자가 의 가치를 좁힐 수있는 대화 형 방법 이 있을 수 있습니다 . 내 형식주의는 가난하지만 아이디어가 실현되기를 바랍니다.$t$

예를 들어 두 당사자 인 Alice와 Bob에게 전화하십시오. 당사자들은 프로토콜에 따라 협력하고 정직하게 행동해야합니다.

Alice 는 및 두 가지 상태를 준비하는 방법을 알고 있습니다. 여기서 은 모든 Rubik 큐브 조합에 대한 균일 한 중첩이며 은 동일한 큐 비트 수를 가진 다른 원숭이 상태입니다 (예 : 해결 된 Rubik 큐브에 해당하는 상태 또는 균일 한 중첩) 큰 하위 그룹에 대해 ). Bob 은 행렬 을 양자 상태 에 적용하는 방법을 알고 있습니다. 여기서 은 모든 Singmaster 이동의 단일 단계에 해당합니다 (해당하는 경우 부수).$\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$

Alice와 Bob은 Singmaster 움직임 ​​아래 Rubik 큐브 그룹의 믹싱 시간 가 최대 임을 보여주고 싶습니다 . 앨리스와 밥은 다음 반복 시간을.$t$$r$$s$

1. Alice는 동전을 Bob 에게 을 제공합니다.$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. Bob은 반복하여 을 에 적용하고 매번 프로젝터를 측정합니다.$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. 프로젝터의 경우 의 각각에 대한 반복 후 밥 말한다 . 프로젝터가 아닌 경우 의 적어도 하나에 대한 반복하고 밥은 앨리스가 있다고 말한다 .$1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

경우에 후, Bob의 각 변경하지 않는 2 단계에서 반복 - 정의 때문에 Bob의 행렬의 고유 상태이고, 밥의 행렬은 단지 그들 사이 상태를 바꾸어 넣. 경우 , 다음 원숭이 상태 입니다 하지 Bob의 프로젝터의 고유 상태 및있는 가능성 측정되지는 빠르게 성장 . $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

밥 정확하게 예측 한 경우 따라서, 위한 반복, 성공 확률은 기하 급수적으로 성장 , 밥의 원숭이 상태에서 유효한 루빅스 큐브 상태를 구별하는 큰 충분하다.$i$$s$$s$$r$

이 과 얼마나 떨어져 있어야하는지 모르겠습니다 . 나는 또한 상호 작용이 제거 될 수 있는지 모른다.$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

처음에는 일부 레지스터와 연산자를 고려해 봅시다.

1. 큐브의 상태의 중첩 (예를 들어 큐브 의 순열)을 인코딩 레지스터 ;$\vert A\rangle$$G$
2. 연산자 는 에 작용 하여 모든 -0의 ket 을 모든 상태 의 균일 한 중첩 에 매핑합니다 .$U$$\vert A\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$\Vert G\Vert$
3. Singmaster 이동 집합의 중첩을 주어진 위치 (예 : Singmaster의 단어 중첩)에 인코딩 하는 레지스터 길이 움직임 );$\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$$k$
4. 연산자 및 은 에 작용 하여 모든 -0의 킷 을 길이 의 Singmaster 움직임의 모든 단어의 균일 한 중첩 으로 매핑합니다. (그 반대); 과$V$$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$18^k$$k$
5. Singmaster 이동 를 주어진 큐브 위치에 적용 하는 (제어 된) 연산자$W$$b$

만약 IS의 모든 요소 위에 균일 중첩의 다음 되는의 고유 상태에서 , 그리고 반복적으로 적용 영향을 위로 걷어되지 .$\vert A\rangle$$G$$\vert A\rangle$$W$$W$$\vert B\rangle$

즉, 은 위의 회로에서 을 모든 0 ket 반환해야합니다 .$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$

그러나 , @DaftWullie 의해 명시된 바와 같이, 경우 있다 하지 고유 상태의 사이 후 차분 및 축적 매우 빠르게 - I는 속도를 판단하는 이 차이는 따라 축적 정확하게 관심의 연산자의 혼합 특성에.$\vert u\rangle$| U ⟩ ρ K | U ⟩$\vert u \rangle$$\rho^k \vert u\rangle$

따라서, 우리는 상태를 준비 할 수있는 경우 되는 교란 균일 분포로부터되도록 IS 아닌 고유 상태의 다음 반복 애플리케이션 것이다 급격히 변화하고, 빌드 은 모두 0이 아닐 수 있습니다.$\vert A\rangle$$\vert A\rangle$$W$ $V^{-1}\vert B\rangle$

에 작용 하는 함수 와 일부 해시 를 결정 하는 응답 qubit 루빅의 큐브 위치의 적은 일부 임계 값보다 , 우리는이 사용하는 의 회전 제어하는 , 다음 내가 믿는 그 의를 위의 회로 는 모든 영점 킷을 읽지 않으며 대신 및 Singmaster 생성 세트와 Rubik 큐브 그룹의 믹싱 시간 에 따라 모든 영점 킷에서 벗어날 수 있습니다 .$F$$\vert A\rangle$$\vert C\rangle$$\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$$\delta$$F$$\vert A\rangle$$V^{-1}\vert B\rangle$$\delta$

즉, 위의 회로에서 측정은 또는 이와 유사한 것을 읽습니다 . 여기서 첫 번째 의 색인은 혼합 시간과 임계 값 에만 의존 합니다.$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$1 δ$1$$\delta$