컨볼 루션을위한 양자 알고리즘

기계 학습을위한 Quantum Computing의 응용 프로그램을 조사하고 2003 년부터 다음과 같은 사전 인쇄가 발생했습니다. Quantum Convolution 및 상관 알고리즘은 물리적으로 불가능 합니다. 이 기사는 어느 저널에도 실리지 않은 것으로 보이지만 수십 번 인용되었습니다.

이 논문의 저자는 양자 상태에 대한 이산 컨볼 루션을 계산하는 것이 불가능한 경우를 만든다. 우리가 양자 행렬 곱셈을 수행 할 수 있다는 것을 알고, 이산 컨볼 루션이 단순히 Toeplitz (또는 circulant) 행렬과의 곱셈으로 짜 맞춰질 수 있다는 것을 알고 있기 때문에 이것은 직관적으로 잘못된 것 같습니다.

그의 주장의 요점은 두 벡터의 요소 별 (Hadamard) 곱에 대한 단일 연산자의 실현 가능한 구성이 없다는 것 같습니다.

연결이 어디에 있습니까? 일반적으로 양자 컴퓨터에서 이산 컨볼 루션을 위해 Toeplitz 매트릭스를 구성 할 수없는 이유가 있습니까?

아니면 기사가 간단하지 않습니까? 나는 저자가 Lemma 14의 증거로 제시 한 모순을 통해 일했으며 나에게 의미가있는 것 같습니다.

algorithm quantum-fourier-transform

— DPL
소스

이 논문은 "마지막 메모 :이 결과는 독립적으로 유사한 결과를 얻은 David Meyer의 의견에서 영감을 받았습니다." Meyer의 논문을 확인 했습니까?

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch 나는 그렇게했으며 비슷한 주장을하는 사람을 찾을 수 없었습니다.

— DPL

답변:

입력 신호가 특정 구조를 가지고 있다면 실제로 양자 컴퓨터에서 컨볼 루션을 수행 할 수 있습니다 (그리고 그 문제에 대해 기하 급수적으로 더 빠름). 그러나 일반적인 입력의 경우, 이것은 도전적이고 어쩌면 육체적으로 불가능한 것 같습니다.

두 개의 개별 신호 와 의 컨볼 루션을 고전적으로 계산하는 방법을 고려하십시오 . 두 신호의 푸리에 변환을 수행하고 결과 벡터를 점 단위로 곱한 다음 역 푸리에 변환을 수행 할 수 있습니다. $f$ $g$

{에프}^{- 1} (에프 (에프) . 에프 (지))

$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$

푸리에 변환은 퀀텀 컴퓨터에서 매우 저렴한 작업입니다. 그래서 이것은 좋은 것 같습니다. 문제는 두 벡터의 점별 곱셈이 그렇게 쉽지 않다는 것입니다. 어떤 요소가 그것을 결정하는지 봅시다.

우리가 운이 좋고 의 푸리에 스펙트럼 이 평평하다고 가정하자 . $f$

에프 = 에프 (에프) = \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 0}^{엔 - 1} | 나는 ⟩ = \sum_{나는 = 1}^{엔 - 1} 에프 (나는)

$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$

이 경우, 양자 컴퓨터는 점 단위 곱셈을 제공하는 대각 행렬 연산을 수행 할 수 있습니다 :

에프 (에프) . 에프 (지) = 에프 . 지 = (\begin{array}{cccc} 에프 (0) \\ 에프 (1) \\ . \\ 에프 (엔 - 1) \end{array}) (\begin{matrix} 지 (0) \\ 지 (1) \\ . \\ 지 (엔 - 1) \end{matrix})

$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$

그러나 두 벡터의 점별 곱셈을 찾는 양자 알고리즘은 일반적으로 물리적으로 불가능할 수 있습니다. 이 작업은 일반적으로 단일하지 않기 때문입니다. 간단한 예로, 의 푸리에 변환이 뾰족한 함수이고 대부분의 위치에 0이 있다고 가정합니다 . $f$

에프 = 에프 (에프) = \frac{1}{2} (| 0 ⟩ + | 2 ⟩ + | 5 ⟩ + | 7 ⟩)

$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$ 이 상태와 다른 점을 곱한 점 state는 되돌릴 수 없으므로 (0 때문에) 단일하지 않습니다.

평평하거나 거의 평평한 푸리에 스펙트럼을 야기하는 함수를 발견하기위한 사전 연구가있어, 복잡하기 쉽다 :

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

— 알리 자 바디
소스

나는 그 결과가 매우 의심 스럽다. 정리 16을 보면, 의 맵 을 달성하는 연산이 없다고 주장합니다 . 그러나 측정 연산자 이것은 (특정 측정 결과에 대한) 원하는 맵을 명확하게 구현합니다. 또한 구현은 매우 간단합니다. 맵핑 할 수있는 단일 (효과적으로 일반 제어되지 않음)이 있으므로 두 번째 스핀을 측정하고 0 결과를 얻는 후 선택하십시오. 이것은 종이의 증거를 무효화하는 것 같습니다.

\sum_{나는 제이} α_{나는} β_{제이} | 나는 제이 ⟩ \mapsto \sum_{나는} α_{나는} β_{나는} | 나는 ⟩

$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$

피 = \sum_{나는} | 나는 ⟩ ⟨ 나는 나는 | .

$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$

| 나는 나는 ⟩ \mapsto | 나는 0 ⟩,

$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$

— 다 프트 울리
소스

작업이 단일 일 필요는 없습니까?

— Craig Gidney

@CraigGidney Theorem 16은 특히 단위와 측정의 조합에 대해 이야기하고 있으며, 그지도를 달성 할 수있는 개별 측정 결과가 없다고 주장합니다.

— DaftWullie

이것은 좋은 반례처럼 보입니다. 당신이 보조 정리 14 증명에 저자의 논리에 어떤 실수에 대한 감각이 있는가 (그는 정리 (16)을 증명하기위한 기초로 사용?)

— DPL

@ DPL 나는 Lemma 14가 틀렸다고 생각하지 않는다. (적어도 나는 결과를 믿는다. 나는 증거에 대해 모른다.) 정리 16에는 이상한 주장이 있지만 (괜찮을지도 모른다. 그것에 대해 생각하면 시간은 의심스러워 보입니다.) 일관된 것이 선형이기 때문에 선형 연산자와 측정도 마찬가지입니다.

— DaftWullie

@DPL 더 정확하게, 나는 Lemma 14가 단일에 적용된다고 생각합니다.

— DaftWullie