양자 게이트 변환 후 각 상태의 확률은 어떻게 변합니까?

양자 게이트는 행렬로 표현되며, 큐 비트 (상태)에 적용되는 변환을 나타냅니다.

작동하는 양자 게이트가 있다고 가정하십시오.$2$ 큐 비트에서 .

양자 게이트 는 큐 비트의 상태를 측정 한 결과에 영향을 미칩니다 (반드시 변경할 필요는 없음) (측정 결과가 가능한 각 상태의 확률에 크게 영향을 받기 때문에)? 보다 구체적으로, 양자 게이트로 인해 각 상태의 확률이 어떻게 변하는 지 미리 알 수 있습니까?

사례 I : 2 큐빗이 얽 히지 않았습니다.

두 큐 비트의 상태 (예 및 B )를 | ψ ⟩ = | 0 ⟩ + B | 1 ⟩ 및 | ψ B ⟩ = C | 0 ⟩ + D | 1 ⟩ 여기서 , B , C , D ∈ C .$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$$a,b,c,d\in\Bbb{C}$

각각의 큐 비트는 두 차원 복소 벡터 공간에있는 (위에 C 필드). 그러나 시스템의 상태는 4 차원 복소 벡터 공간 C 4 ( C 필드 위)에 있는 벡터 (또는 점 )입니다.$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$

시스템의 상태는 텐서 제품으로 쓰여질 수 있습니다 즉 C | 00 ⟩ + D | 01 ⟩ + B C | 10 ⟩ + B D | 11 ⟩ .$|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$

당연히 상태 벡터를 정규화해야하므로 2 = 1 입니다. 기본 상태의 진폭의 제곱이 해당 기준으로 측정 될 때 발생하는 기본 상태의 확률을 제공하는 이유는 Born의 양자 역학 규칙 에 있습니다 (일부 물리학 자들은 양자 역학의 기본 가정이라고 생각합니다) . 이제 확률은 | 첫 번째 큐 비트가 측정 될 때 발생하는 0 is 는$|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$ . 마찬가지로 | 1 큐 비트가 측정 될 때 발생하는 ⟩ 는 | b c | 2 + | b d | 2 .$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

이제 시스템의 이전 상태를 측정하지 않고 양자 게이트를 적용하면 어떻게됩니까? 양자 게이트는 단일 게이트입니다. 그들의 행위가 단일 연산자의 동작과 같이 쓸 수있다 즉, 시스템의 초기 상태에 C | 00 ⟩ + D | 01 ⟩ + B C | 10 ⟩ + B D | 11 ⟩ 새로운 상태의 생산 을 | 00 ⟩ + B | 01 ⟩ + C | 10 $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ (여기서 , B , C , D ∈ C ). 이 새로운 상태 벡터의 크기 : | A | 2 + | B | 2 + | C | 2 + | D | 적용된 게이트가단일했기 때문에 2는 다시 1 과 동일하다. 첫 번째 큐 비트가 측정되면 | 0 ⟩ 되어 발생 | A | 2$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$$|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$ 와 유사하게 | 1⟩.$|A|^2+|B|^2$$|1\rangle$

그러나 우리가 측정을 수행하면 단일 게이트의 동작 전에 결과가 달라집니다. 예를 들어, 첫 번째 큐빗을 측정했으며 상태가 시스템의 중간 상태는 것이다 붕괴 에 C | 00 ⟩ + D | 01 $|0\rangle$ (코펜하겐 해석에 따라). 그래서 당신은에 같은 양자 게이트를 적용하는 것을 이해할 수있는이상태 것은 다른 최종 결과를 준 것이다.$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

사례 II : 2 큐 비트가 얽혀 있습니다.

시스템의 상태가 1 과 같은 경우두 개의 개별 큐 비트 상태의 텐서 곱으로 표현할 수 없습니다 (시도!). 더 많은 예가 있습니다. 이 경우 큐빗이 얽힌다고합니다.$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

어쨌든 기본 논리는 여전히 동일합니다. 확률 최초의 큐 비트를 측정 발생하는입니다 | 1 / $|0\rangle$ 와| 1⟩발생하는은$|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$$|1\rangle$$\frac{1}{2}$ too. Similarly you can find out the probabilities for measurement of the second qubit.

이 상태에서 단일 양자 게이트를 적용하면 , 이전. 첫 번째 및 두 번째 큐 비트가 측정 될 때 다양한 가능성의 확률을 스스로 확인할 수 있기를 바랍니다.$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$

참고 : 일반적으로 2- 큐빗 시스템의 기본 상태 네 간주되는 4 × 1 등 열 벡터 [ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] 의 표준에 기초하여 네 개의 기저 벡터를 매핑 등 R 4 . 그리고 단일 변환 U 는 4 × 4 로 쓸 수 있습니다.$|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$ 속성을 만족하는 행렬 .$UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$

네 가능합니다. 양자 게이트는 소정의 입력 상태가 확률 계산 가능한 출력으로 잘 정의 된 상태로 변화되도록 설계되어있다. 변환은 양자 역학의 관점에서 측정 을 구성하지 않습니다 . 이것은 우리가 양자 게이트의 출력에서 ​​얽힌 상태를 가질 수 있고 추가 계산을 위해 이러한 상태를 사용할 수 있음을 의미합니다.

또한 양자 게이트에 의해 변환 된 후에는 입력 상태에 더 이상 액세스 할 수 없습니다. 다시 되돌리려면 역 게이트를 적용해야합니다.

How does the quantum gate affect (not necessarily change it) the result of measuring the state of the qubits (as the measurement result is affected greatly by the probabilities of each possible state)? More specifically, is it possible to know, in advance, how the probabilities of each state change due to the quantum gate?

예제와 지오메트리로 이것에 접근 해 봅시다. 그의 힐버트 공간 인 단일 큐 비트, 고려 , 즉, 이상의 두 가지 차원 복잡한 힐베르트 공간 C를 (더 기술적 인 사람들을 위해, 힐버트 공간이 실제로 C P 1 ). 블로흐 구체 (Bloch sphere) 라고도하는 단위 구체 인 C P 1 ≅ S 2 가 밝혀졌다 . 이것은 큐 비트의 모든 상태가 블로흐 구체에서 ( 유일하게 ) 표현 될 수 있다는 사실로 해석됩니다 .$\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}P^1 \cong S^2$

출처 : Wikipedia

큐 비트의 상태는 Bloch sphere에서 ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$$0 \leq \theta \leq \pi$$0 \leq \phi < 2 \pi$$|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$$|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$

$U$$U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$$SU(2)$$Y$$\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

이 게이트는 큐 비트에서 어떻게 작용 하고 측정 결과에 영향을 줍 니까?

$|0\rangle$, i.e., at the north pole on the Bloch sphere. You apply a unitary of the form $U = e^{-i \gamma Y}$ where $\gamma \in \mathbb{R}$. Using properties of the Pauli matrix, we get $U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$. The action of this operator is to rotate the state by an angle $2 \gamma$ along the y-axis and therefore if we choose $\gamma = \pi/2$, the qubit $|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$. That is to say, given we know what unitary we are applying to our state, we completely know the way in which our initial state will transform and hence we know how the measurement probabilities would change.

For example, if we were to make a measurement in the $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ basis, initially, one would get the state $|0\rangle$ with probability 1; after applying the unitary, one would get the state $|1\rangle$ with probability 1.

당신이 말했듯이, 측정의 확률은 상태에서 얻습니다. 그리고 게이트는 상태에서 단일하게 작동합니다. POVM 요소를 고려하십시오$\Pi$, 주 $\rho$ 그리고 문 $U$. 그런 다음 관련된 결과의 확률$\Pi$ 이다 $p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$게이트 이후의 확률은 $p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$.

나는 단지 게이트 이전의 확률에서만 게이트 이후의 결과 확률을 알 수 없다는 것을 강조하고 싶습니다. 확률 진폭 (양자 상태)을 고려해야합니다!

다시 한 번 말씀 드리겠습니다. 두 큐빗에 대해 이야기하고 있으므로 게이트 뒤의 상태가 엉켜있을 수 있습니다. 이 경우, 조인트 확률 분포가 두 개의 한계 분포를 고려하지 않는다는 점에서 모든 측정에 대해 각 큐 비트에 대해 "개별"확률 분포를 가질 수 없습니다.