양자 오류 수정 관점에서 Clifford 연산의 중요성

QECC에 관한 문헌에서 Clifford 게이트는 높은 지위를 차지합니다.

이를 증명하는 다음 예제를 고려하십시오.

• 스태빌라이저 코드를 연구 할 때 인코딩 된 Clifford 게이트를 수행하는 방법을 별도로 연구합니다 (횡 방향으로 적용 할 수없는 경우에도). QECC의 모든 입문 자료는 양자 코드에 대해 인코딩 된 Clifford 연산을 수행하는 데 중점을 둡니다. 그렇지 않으면 Clifford 게이트를 강조하십시오 (즉, 양자 코드로 인코딩 된 Clifford 게이트를 수행하지 않는 경우에도).

• 매직 스테이트 증류 *의 전체 주제는 특정 작업 (클리포드 게이트의 성능 포함)을 저비용 작업으로 분류하는 반면 토 포리 게이트 또는 게이트는 과 같이 수행합니다. 더 높은 비용의 운영.$\pi/8$

가능한 답변 :

1. 이것은 문헌의 특정 장소, 예를 들어 Gottesman의 박사 학위 논문 및 많은 논문 및 https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025 에서 정당화되었습니다 . 이러한 장소에 주어진 이유는 특정 안정기 코드에 대해 일부 Clifford 게이트를 횡단 적으로 (원형 결함 허용 작업) 수행 할 수 있기 때문입니다. 반면, 양자 코드에서 비 Clifford 게이트의 횡단 애플리케이션을 찾는 것은 쉽지 않습니다. 나는 이것을 직접 확인하지는 않았지만 단지 Gottesman이 그의 박사 학위에서 한 진술에 의해서만 가고 있습니다. 논문 및 일부 검토 기사.

양자 코드상에서 횡 방향으로 인코딩 된 게이트를 수행 할 수 없으면, 코드상에서 상기 게이트를 수행하는 비용이 즉시 증가한다. 클리포드 게이트를 수행하는 것은 저가 범주로, 비 클리퍼드 게이트는 비용이 많이 드는 범주로 이동합니다.

2. 엔지니어링 관점에서 표준화 된 양자 계산의 기본 단위 목록 (상태 준비, 게이트, 측정 관찰 가능 / 기준) 등을 결정하는 것이 중요합니다. Clifford 게이트를 수행하면 여러 가지 이유로 해당 목록을 편리하게 선택할 수 있습니다. (가장 잘 알려진 범용 양자 게이트 세트에는 많은 Clifford 게이트, Gottesman-Knill 정리 ** 등이 포함됩니다).

이것이 Clifford 그룹이 QECC 연구에서 (특히 스태빌라이저 코드를 연구 할 때) 높은 지위를 갖는 이유에 대해 내가 생각할 수있는 유일한 두 가지 이유입니다. 두 가지 이유는 엔지니어링 관점에서 비롯됩니다.

문제는 공학적 관점에서 비롯되지 않은 다른 이유를 식별 할 수 있는가입니다. 내가 놓친 Clifford 게이트가 수행하는 다른 주요 역할이 있습니까?

가능한 다른 이유 : Clifford 그룹이 단일 그룹 ( qubit 시스템) 에서 Pauli 그룹의 노멀 라이저라는 것을 알고 있습니다. 또한이 제품 은 준 직접 제품 구조 (실제로 준 직접 제품 그룹의 투영 표현)를 갖습니다 . 그 자체로 이러한 관계 / 속성이 다른 이유를 않는 이유 중 하나는 안정제 코드와 관련있는 클리포드 그룹을 연구한다고?$n$

*이 문제를 자유롭게 해결하십시오. ** 특정 작업으로 제한된 상태에서는 양자 이점을 얻을 수 없으므로 처음에 제한했던 작업보다 조금 더 많은 것이 필요합니다.

클리포드 작업은 종종 스태빌라이저 코드에서 가로 또는 코드 변형으로 내결함성을 쉽게 수행 할 수 있습니다. 그 이유는 생각했던대로입니다.이 게이트와 Paulis 사이의 특수한 관계는 후자가 안정기 코드를 정의하는 데 사용되기 때문입니다.

Clifford 이외의 게이트를 코드로 가져올 수는 있지만 가격을 지불해야합니다. 특히, 코드의 기하학적 위치와 코드가 가로로 할 수있는 게이트 사이에는 관계가 있습니다. 따라서 2D 격자 (예 : 표면 또는 색상 코드)에서 가장 가까운 인접 제어 게이트 만 수행 할 수있는 경우 Clifford 만 가능합니다. 이에 대한 자세한 내용은 이와 같은 논문을 참조하십시오.

스테빌 라이저 코드에서 내결함성 Cliffords를 기대할 수 있다는 사실은 이후 범용 게이트 세트를 합성하는 기술의 중심에 놓였습니다. 따라서 내결함성이없는 방식으로 비안 정화기 인코딩 상태를 만드는 방법이 있다면 논리적 인 Clifford를 사용하여 정리하는 방법을 알고 있습니다. 이러한 상태를 회전으로 바꾸기 위해 논리적 인 Clifford를 사용합니다. 따라서 코드가 있고 이러한 모든 기성품 결과를 적용하려면 내결함성 Clifford를 찾는 것이 좋습니다. 또는 적어도 Paulis, H 및 CZ 또는 CNOT를 모두 관리 할 수없는 경우.