기본 게이트에서 멀티 큐빗 제어 Z를 구성하는 방법은 무엇입니까?

특정 양자 알고리즘을 구현하려면 아래 그림과 같이 일련의 기본 게이트에서 다중 큐 비트 (이 경우 3 큐 비트)로 제어되는 Z 게이트를 구성해야합니다. .

내가 사용할 수있는 문은

• Pauli 게이트 및 모든 힘 (즉 모든 위상 계수까지의 모든 Pauli 회전)$\rm X, Y, Z$
• ${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ ( 프로젝터에 대한 회전 ),$|11\rangle\langle11|$
• $\rm H$ (하마드)
• $\rm C_X$ (단일 큐 비트 제어 -X 또는 CNOT),
• $\rm C_Z$ (싱글 큐빗 제어 Z) 및
• $\rm S$ (스왑).

이 게이트에서이 3 큐빗 제어 Z를 구축하려면 어떻게해야합니까? 회로 분해에 관한 몇 가지 논문을 읽었지만 그 중 어느 것도 나에게 명확하고 간결한 대답을 줄 수는 없습니다.

(편집 : 14 CNOT로 향상되었습니다.)

14 개의 CNOT와 15 개의 단일 큐 비트 Z 회전 및 보조 큐 비트없이 수행 할 수 있습니다.

해당 회로는

어디 $\fbox{$\pm$}$ 게이트는 회전

유도:

에서 기재된 절차 사용 https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , 모든 대각선 게이트 - 모든 따라서 특히 CCCZ 게이트는 - 예 CNOTs 환산 한 큐 비트 게이트 대각선으로 분해 될 수있다 여기서 CNOT는 고전적인 최적화 절차에 따라 자체적으로 최적화 될 수 있습니다.

이 레퍼런스는 임의의 대각선 4 큐 비트 게이트에 16 개의 CNOT를 사용하는 회로를 제공합니다 (그림 4).

임의의 큐빗 쌍이 14 큐 비트에 결합 될 수 있다면 이것은 개선 될 수있다. 주기적 (개방) 경계 조건이있는 가장 가까운 이웃의 경우 16 (18) 개의 CNOT로 수행 할 수 있습니다. 해당 회로에서 찾을 수 https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ 도. 5.2, 5.4, 5.5, 그리고 짧은 회색 계열을 구성하는 방법을 사용하여 예를 얻을 수있다.

1 큐 비트 게이트의 수는 항상 15입니다.

비고 : 원칙적으로 더 간단한 회로가있을 수 있지만 (이 회로는보다 제한적인 회로 구조를 염두에두고 최적화 된 것임), 최적에 가까워 야합니다. 회로는 모든 형태의 상태를 만들어야합니다. $\bigoplus_{i\in I}x_i$ 사소한 부분 집합 $I\subset\{1,2,3,4\}$, 그리고 4 qubit에 대한 15 개가 있습니다.

또한이 구성이 반드시 최적 일 필요는 없다는 점에 유의하십시오.

^{1 참고 : 저는 저자입니다}

당신은 구현할 수 있습니다 $n$큐빗 제어 $U$이 대답에 주어진 회로에 의해 . 그냥 교체$U$ 으로 $Z$. 그러나 여기에는 CCNOT (Toffoli) 게이트가 필요하며 기본 게이트를 사용하여 CCNOT를 구현하는 방법에 대한 옵션이 있습니다 .

다음은 29 개의 게이트를 사용하는 CCCZ 구조입니다 .

측정 및 클래식 피드 포워드를 사용할 수있는 경우 게이트 수를 25 개로 줄일 수 있습니다 .

(다 마드 게이트는 게이트 세트 구속 조건을 충족해야하는 경우 Y의 제곱근으로 대체 될 수 있습니다.)

Controlled-S 게이트와 Controlled-sqrt (X) 게이트를 수행하고 X 기준 측정을 수행 할 수있게하면 총 10 개의 게이트로 줄일 수 있습니다 .

CCCZ를 컴파일하려고하는 다른 사람에게 유용한 경우를 대비하여 CCCZ의 또 다른 분해를 게시하고 있습니다. 총 게이트 수는 더 적고 2 개 대신 1 개의 보조 큐 비트가 필요하지만 "명확한"답변보다 5 개 더 많은 2 큐 비트 게이트가 필요하므로 실제로 하드웨어에서 구현하기에는 더 나쁠 수 있습니다.

이 의견에서 사용자 @Rob에 의해 제안되었습니다 : 양자 회로의 자동 컴파일 , 이 백서 에서 나옵니다 .

GMS5$(\chi)$ 게이트는 이쪽

와 $n=5$ 그리고 다 $\chi_{ij}=\chi$즉, 10 개의 2 큐 비트 게이트가 포함됩니다. 그런 다음 질문에 주어진 게이트 세트로 컴파일해야 하므로이 분해는 보조 보조 비트 수를 절약하려고하거나 더 많은 2 큐 비트 게이트를 갖는 것을 신경 쓰지 않는 경우에만 사용해야합니다 회로 깊이를 조금 줄입니다.

지정된 게이트 세트를 기반으로 크게 절약 할 수 있습니다. 예를 들어 일반적인 ccnot 구성에서$T$ 와 문 $Z^{1/4}$두 제어 큐 비트 사이의 마지막 몇 게이트를 구성하는 위상 보정이 필요하지 않습니다. 질문에 지정된 게이트 세트를 준수하는이 구성은 21 게이트로 구성되며 그중 10 게이트는 2 큐빗입니다 (아래 회로에서 마지막 게이트가 필요하지 않음).

명확하게하기 위해 (여러 의견에 대한 답변으로) : 일반적으로 우리는 Toffoli를보고 그것을 사용하여 시도합니다. $T$문. 두 컨트롤이 모두$|1\rangle$타겟 큐 비트의 게이트 시퀀스는 $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$. 이제부터$XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$그러면 시퀀스가 ​​간단 해집니다. $-iHT^4H=-iX$두 제어 큐 비트에 보상 제어 S 게이트를 추가해야합니다. 대신에$Z^{1/4}$그런 다음 $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$, 그리고 그 성가신 단계 중 어느 것도 들어 가지 않으며 2 큐빗 게이트를 절약합니다!

또한 두 개의 Toffoli 게이트는 0 상태를 대상으로하기 때문에 Toffoli 만 있습니다. 일반적으로 여분의 2 큐 비트 게이트가 필요합니다.

이 논문 은 11 2 큐 비트 게이트 만 사용하는 구조를 주장 하지만 기존의 문헌에서는 효율적인 구조를 찾지 못했지만 질문의 제한된 게이트 세트로 변환 된 후에는 전체 게이트 카운트를 수행하지 않았습니다.

내 다른 대답은 가장 명백한 "교과서"방식 이지만 ( Nielsen & Chaung의 CCCZ 분해를 CCNOT 로 사용하고 다른 교과서 분해를 사용하여 CCNOT를 컴파일하는 방법 ) 더 창의적인 방법으로 더 적은 수의 게이트로 작업을 수행 할 수 있습니다.

1 단계:

Nielsen & Chuang 회로의 모든 CNOT를이 가제트로 교체하십시오.

2 단계:

이제 CCNOT 대신 CCZ가 여러 개 있으며 다음과 같이 분해 할 수 있습니다 ( 이 백서에서 제공 ).

3 단계 :

참고 $H^2 = I$, 그래서이 Hadamards 중 일부는 서로를 취소하고 우리는 더 많은 감소를 얻습니다 :)