Clifford 회로의 스태빌라이저 테이블의 역수에 대한 간단한 규칙이 있습니까?

Aaronson과 Gottesman 의 향상된 안정화 회로 시뮬레이션 에서는 Clifford 회로가 작동 할 때 각 큐 비트의 X 및 Z가 매핑되는 Pauli 텐서 제품을 설명하는 테이블을 계산하는 방법에 대해 설명합니다.

Clifford 회로의 예를 들면 다음과 같습니다.

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

그리고 각 큐빗의 X 및 Z 관측 가능 객체에 어떻게 작용하는지 설명하는 표는 다음과 같습니다.

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

표의 각 열은 회로가 각 큐 비트의 X 관찰 가능 (왼쪽 절반) 및 Z 관찰 가능 (오른쪽 절반)에 어떻게 작용 하는지를 설명합니다. 예를 들어, 열 3의 왼쪽은 Z, Z, _, X이며, 회로 오른쪽의 X3 연산 (Qubit 3의 Pauli X)은 왼쪽의 Z1 * Z2 * X4 연산과 같습니다. 회로의 측면. '기호'행은 제품의 부호를 나타내며, 이는 측정을 시뮬레이트하려는 경우 중요합니다 (결과 반전 여부를 알려줍니다).

회로의 역수에 대한 테이블을 계산할 수도 있습니다. 내가 제시 한 사례에서 역표는 다음과 같습니다.

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

행과 열을 바꾸면 테이블이 거의 동일하게 보입니다 . 그러나 항목이 정확히 동일하지는 않습니다. 조옮김 외에도 문자를 비트 ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11)로 인코딩 한 다음 중간 비트를 교체 한 다음 디코딩해야합니다. 예를 들어, ZZ는 1010으로 인코딩하고 1100으로 바꾸고 Y_로 디코딩합니다.

내가 가진 질문은 : 역 테이블의 부호를 계산하는 간단한 규칙이 있습니까?

현재이 테이블을 회로로 분해하고 회로를 반전시킨 다음 다시 곱하여 표를 반전시킵니다. transpose + replace에 비해 비효율적이지만 transpose + replace를 사용하려면 부호 규칙이 필요합니다.

pauli-gates clifford-group

— 크레이그 거 드니
소스

질문을 명확히하기 위해 : Clifford 회로가

U

$U$ . 그런 다음

j

$j$ '열은

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$ 과

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$ 사용 된 왼쪽 또는 오른쪽 절반에 따라 그리고 너는 원해

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$ 과

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$ 대신이 데이터에서.

— AHusain

@AHusain 맞습니다.

— Craig Gidney

질문을 명확히하기 위해 : Clifford 회로에서 @는 무엇을 의미합니까?

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez 컨트롤입니다. 두 개가 연결되면 CZ 게이트입니다. X에 연결된 @는 제어 된 X입니다. Y에 연결된 @는 제어 된 Y입니다.

— Craig Gidney

답변:

Aaronson (및 Gottesman) 의 tableau 표현에 매우 밀접하게 관련된 표현이 있습니다.이 표현은 qubits뿐만 아니라 임의의 유한 치수의 qudits에도 적용되며 특히 Clifford 회로 ( 즉 , 최대 하나의 터미널 측정)에 효과적입니다.

이 대안적인 표현에서, 일반적인 표현에서와 같이 단일 큐 비트 X 및 Z 연산자가 위상 정보를 사용하여 어떻게 변환 하는지를 설명하는 표가 있습니다. 이 열은 멀티 큐빗 Weyl 연산자를 구체적으로 설명하며 Pauli 연산자의 특수 하위 집합입니다. 이렇게하면 tableau가 계수의 배열이 아니라 Weyl 연산자와 위상을 나타내는 벡터의 실제 선형 연산자라는 장점이 있습니다.

작은 캐치가 있습니다. 큐 비트의 경우,이 벡터는 모듈로 2가 아닌 정수 모듈로 4 (Weyl 연산자가 아닌 사소한 단일 큐빗 파울리 연산자의 이중 커버에 해당함) 인 계수를 갖습니다. 내 결과 [ arXiv : 1102.3354 ] 이므로 약간 바이어스 될 수 있습니다 . 그러나 그것은 다소 '자연적으로 발생하는'표현 인 것 같습니다. Appleby는 단일 큐빗 또는 qudit 특수 사례를 다소 일찍 개발했습니다 [ arXiv : quant-ph / 0412001 ] 본질적으로 동일한 규칙을 불필요하게 다시 작성).

'tableau'라는 사실 때문에 이러한 표현을 사용하여 $M_C$ Clifford 회로의 $C$ 이제 역행렬에 대한 벡터 인 벡터를 변환하는 실제 행렬 (및 뒤집을 수없는 행렬)입니다. $C^{\dagger}$ 그렇다면 역 $M_C^{-1}$ tableau의. 따라서이 밀접하게 관련된 표현을 위해서는 역 회로의 tableau를 계산하는 규칙이 쉽습니다.

— 닐 드 보드 랩
소스

Weyl 연산자를 설명하는 슬라이드 또는 강의 노트에 연결할 수 있습니까?

— Craig Gidney

제품 벡터를 추적 할 때 "폴리 기준"{I, X, Y, Z}를 "쿼터니언 기준"{I, iX, iY, iZ}로 바꾸는 것과 관련이 있습니까?

— Craig Gidney

큐 비트에 대해 이야기 할 때 아마도 원래의 논문이있다 하나

— DaftWullie

Weyl 연산자와 관련하여 좋은 슬라이드를 찾으려고 노력할 것입니다 (자신에게 중요한 것은 없습니다). n 큐빗의 경우, 그들은 연산자입니다

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$ 두 벡터에 대해

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$ . 이 정의에 대한 동기는 p. Lemma 4로 이어지는 내 링크 된 기사의 2 개. 이것은 위상에 대한 2 차 물건 mod 2를 가정하여 추가 모드 4 (및 Clifford 회로를 수행 할 때 선형 대수 모드 4)를 사용하여 안정기 그룹에 대해 추론 할 수있게합니다.

— Niel de Beaudrap

@DaftWullie : 아니요, [arXiv : quant-ph / 9608006 ]은 엄격히 다릅니다. 이들은 GF (4)의 부가 그룹 구조에 반영된 mod 2 벡터 (Eq.2 앞의 텍스트 참조)에 의해 X와 Z의 거듭 제곱을 인덱싱합니다. 따라서 p.8의 상징적 변형에 대한 관찰은 Pauli 그룹 모듈로 단계에 적용됩니다. Appleby와 저는 큐 비트에서 Pauli 그룹에 대해 멋진 표현을 한 최초의 사람이라고 주장하지 않습니다. 요점은 우리의 표현이 단계를보다 우아하게 추적한다는 것입니다. 이는 QECC 발견에는 중요하지 않지만 상태를 시뮬레이션하는 데 중요합니다.

— Niel de Beaudrap

Aaronson과 Gottesman의 기술을 좀 더 명확하게 설명하기 위해 : 각 스태빌라이저를 길이가 작은 비트 열로 설정할 수 있습니다 $2N$ (에 대한 $N$ 큐빗). 첫번째 $N$ 비트는 Z 연산자의 위치를 지정하고 두 번째 세트는 $N$ 위치를 지정하십시오 $X$ 연산자 (그래서 $X_1Z_2$ ...에 대한 $N=2$ 0110)입니다. 4 큐 비트의 회로에서 Clifford 회로 (일부 위상까지)로 인한 변환은 $8\times 8$ 매트릭스. 이것을 블록 행렬로 생각할 수 있습니다

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$ 각 블록은

N \times N

$N\times N$ . 스태빌라이저가 출퇴근한다는 사실은

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$ 당신은의 역을 찾고 싶어

M

$M$ 모듈로 2. 당신의 주장에 반대의 형태는 다음과 같은 형태입니다 (제 생각에)

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$ 흥미롭게도 역수를 연상시키는

2 \times 2

$2\times 2$ 행렬 (그러나 그것은 블록 행렬에는 충분하지 않습니다. 블록 단위의 역수가 있지만 여기서는 그렇게 도움이되지 않습니다.)

물론 혼란은 단계를 추적하는 데 있습니다. 나는 각 안정기의 Y 연산자 수의 변화와 관련이있을 것으로 보이지만 통일 된 치료에는 성공하지 못했습니다. Niel의 답변은 아마도 자동으로 처리하는 것이 더 좋습니다.

— 다 프트 울리
소스