병렬 프로세스를 실행하여 Grover 알고리즘을 가속화 할 수 있습니까?

클래식 컴퓨팅에서는 병렬 컴퓨팅 노드를 최대한 많이 실행하여 키 검색 (예 : AES)을 실행할 수 있습니다.

많은 Grover 알고리즘도 실행할 수 있습니다.

내 질문은 ; 클래식 컴퓨팅에서와 같이 하나 이상의 Grover 알고리즘을 사용하여 속도를 높일 수 있습니까?

확실히! 당신이 가지고 있다고 상상해보십시오$K=2^k$ 검색 오라클의 사본 $U_S$사용할 수 있습니다. 일반적으로 작업을 반복하여 검색합니다.

$$H^{\otimes n}(\mathbb{I}_n-2|0\rangle\langle 0|^{\otimes n})H^{\otimes n}U_S,$$ 초기 상태에서 시작 $(H|0\rangle)^{\otimes n}$. 시간이 걸립니다$\Theta(\sqrt{N})$. (사용하고 있습니다$\mathbb{I}_n$ 를 나타내는 $2^n\times 2^n$ 단위 행렬.)

이것을 다음으로 바꿀 수 있습니다 $2^k$ 각각에 의해 색인 된 병렬 사본 $x\in\{0,1\}^k$을 사용하여

$$\left(\mathbb{I}_k\otimes H^{\otimes (n-k)}\right)\mathbb{I}_k\otimes(\mathbb{I}_{n-k}-2|0\rangle\langle 0|^{\otimes (n-k)})\left(\mathbb{I}_k\otimes H^{\otimes (n-k)}\right)U_S$$ 그리고 주에서 시작 $|x\rangle(H|0\rangle)^{\otimes(n-k)}$ 이를 실행하는 데 필요한 시간은 $O(\sqrt{N/K})$요구하는 비용으로 $K$ 배 더 많은 공간.

스케일링의 관점에서, 이것은 관련이없는 결과로 간주 될 수 있습니다. 고정 된 수의 오라클이 있다면$K$, 당신은 고정 ($\sqrt{K}$) 개선 (있는 경우와 마찬가지로 $K$ 병렬 클래식 코어에서 얻을 수있는 최선의 개선은 $K$)이며 배율을 변경하지 않습니다. 그러나 기본 실행 시간이 변경됩니다. 우리는 Grover의 알고리즘이 정확히 최적이라는 것을 알고 있습니다. 단일 oracle로 가능한 최소 시간이 필요합니다. 그래서, 당신이 얻을 알고$\sqrt{K}$ 시간의 향상은 특정 값에서 특정 실행 시간의 벤치 마크와 관련하여 유용합니다. $N$.

어떤 의미에서, 다른 노드에서 병렬로 수행하면 실행 시간을 절약 할 수 있습니다. 그러나 복잡성 (일반적으로 속도 향상이라고 함)에 대해 이야기한다면 약간의 분석이 필요합니다.

당신은 우리가 필요로한다는 것에 동의합니다 $\sqrt{N}$병렬이 아닌 경우에 대한 작업. 두 개의 노드가 있고 N 개의 요소 목록을 두 개의 크기 목록으로 구분$N_1,N_2$. 하위 목록을 검색하면$\sqrt{N_1},\sqrt{N_2}$.

그러나 우리는

$$\sqrt{N} = \sqrt{N_1+N_2} \le \sqrt{N_1} + \sqrt{N_2}$$

그리고 병렬 프로세스에서 반환되는 결과 중 원하는 결과가 어떤 것인지 확인해야합니다. 복잡성에 상수를 추가하여 일반적으로$O$ 표기법.

그러나 큐 비트의 수나 다른 제한이 제한되어 있기 때문에 하드웨어를 클러스터링해야하는 경우 특히 흥미로울 것입니다.