블로흐 구체를 두 큐빗으로 일반화 할 수 있습니까?

블로흐 구체는 단일 큐 비트 상태를 멋지게 시각화 한 것입니다. 수학적으로, 그것은 고차원 초구에 의해 임의의 수의 큐빗으로 일반화 될 수있다. 그러나 그러한 것은 시각화하기 쉽지 않습니다.

블로흐 구체를 기반으로 시각화를 두 큐빗으로 확장하려는 시도는 무엇입니까?

순수한 상태의 경우 "2 qubit bloch sphere"를 만드는 간단한 방법이 있습니다. 기본적으로 슈미트 분해를 사용하여 상태를 얽 히지 않고 완전히 얽 히지 않은 두 가지 경우로 나눕니다. 얽 히지 않은 부분의 경우 두 개의 블로크 구체 만 사용합니다. 그리고 얽힌 부분은 3D 공간에서 가능한 회전 세트와 동형입니다 (회전은 한 큐 비트의 측정 값을 다른 큐 비트의 예측값으로 변환하는 방법입니다). 이것은 8 개의 실제 매개 변수로 표현됩니다.

1) 0과 1 사이의 실수 값 w는 얽 히지 않은 것 vs 완전히 얽힌 것의 무게를 나타냅니다.

2 + 3) qubit 1에 대한 얽 히지 않은 단위 블로크 벡터.

4 + 5) 큐빗 2에 대해 얽 히지 않은 단위 블로크 벡터.

6 + 7 + 8) 완전히 얽힌 회전.

다음은 회전 부분을 "XY 및 Z 축이 매핑되는 위치"로 표시하고 축을 w만큼 스케일링하여 더 얽히게 될 경우의 모습입니다.

(중간에 수신 거부는 내 코드의 숫자 퇴화 때문입니다.)

혼합 상태의 경우, 가능한 모든 qubit 1 측정에서 qubit 2에 대해 예측 된 bloch vector의 envelope을 보여주는 약간의 성공을 거두었습니다.

그러나 a)이 '봉투'표현은 대칭이 아니며 (퀴빗 중 하나는 제어이고 다른 하나는 목표입니다.) b) 대수적으로 컴팩트하지는 않지만 꽤 보입니다.

이 디스플레이는 Quirk 의 대체 dev- 얽힘 디스플레이 분기 에서 사용할 수 있습니다 . 빌드 지침을 따를 수 있다면 직접 빌드 할 수 있습니다.

스핀 때문에 $j$ 의 기약 표현 $SU(2)$ 치수 갖는 $2j+1$ ( $j$ 절반의 정수)의 모든 유한 차원 힐베르트 공간의 표현 공간으로 얻을 수 $SU(2)$ . 더욱이, $SU(2)$ 의 모든 돌이킬 수없는 표현은 기본 스피너 표현의 대칭 텐서 제품이므로 모든 유한 차원의 힐버트 공간은 기본 S U ( 2 ) 의 대칭 텐서 제품으로 생각할 수 있습니다$SU(2)$ 기본 표현 공간.

이것은 Majorana 스텔라 표현 구조의 기초입니다. 치수의 힐베르트 공간에서 살아 qudit 상태 $2j+1$ 로 나타낼 수 $2j$ 블로흐 구상의 점. 상태 벡터는로 재구성 될 수있는 $2j$ 의 (2 차원) 스핀 벡터 $2j$ 대칭 된 텐서 곱으로 포인트.

A의 상태 벡터 주어 $2j+1$ 차원 힐베르트 공간 (보십시오 리우 푸 왕 및 2.1 절)

$z = \tan \theta e^{i\phi}$$\theta$$\phi$

양자 계산에 대한 이러한 표현의 하나의 적용은 궤적을 시각화하여 기하학적 위상을 발생 시키는데, 이는 홀로 노믹 양자 계산의 게이트 역할을한다. 이 궤적은 블로흐 구체에서 마주 아나 별의 궤적으로 반영되며 기하학적 궤적은 이러한 궤적으로 둘러싸인 솔리드 각도에서 계산할 수 있습니다. Liu와 Fu의 Abelian 기하학적 단계에 대한 작업을 참조하십시오 . Liu Roy와 Stone 은 일부 비아 벨리 아 사례에 대한 치료를 제공합니다 .

마지막으로, 양자 계산과 관련된 많은 기하학적 표현이 있지만 다차원 적이며 일반적으로 시각화 도구로는 유용하지 않을 수 있습니다. 예를 들어 , 양자 계산에 사용되는 유한 치수 힐버트 공간의 위상 공간으로 작용할 수있는 베르나 트 스카 및 홀로드 처리 코아 조인트 궤도를 참조하십시오 . 단열 양자 해밀턴 인의 지상 상태 매니 폴드를 매개 변수화하는 그래스 만 (Grasmannian)이 이러한 공간의 특정 예이다.

1 큐 비트 이상의 시각화를 위해서는 Bloch 구체보다 더 복잡한 시각화가 필요합니다. Physics Stack Exchange의 아래 답변은이 개념을 권위있게 설명합니다.

2 개 이상의 큐 비트를위한 블로흐 구체

다른 기사에서, 2 개의 큐 비트 표현은 7 차원 구 (S 7)로서 기술되며, 이는 S 3 섬유 및 S 4베이스를 갖는 Hopf 섬유를 허용한다. 가장 놀라운 결과는 적절하게 지향 된 S 7 Hopf 섬유가 얽힘에 민감하다는 것입니다.

얽힌 상태, 블로크 구체 및 Hopf 섬유의 형상

그러나 Bloch 구 기반 접근 방식은 시끄러운 환경에서 큐빗의 동작을 모델링하는 데에도 매우 유용합니다. 4- 레벨 Bloch 벡터의 동역학에 대한 다루기 쉬운 분석 방정식을 생성하기 위해 일반화 된 Bloch 벡터를 사용하여 2- 큐빗 시스템을 분석했습니다. 이것은 잘 알려진 2 단계 블로흐 구체에서 기하학적 개념을 적용한 것에 근거합니다.

상관 또는 반 상관 노이즈가 존재하는 경우, 디코 히 런스 속도는 초기 2 큐빗 상태와 해밀턴의 대칭에 매우 민감하다는 것을 알 수 있습니다. Hamiltonian에 대칭이없는 경우 상관 관계는 디코 히 런스 속도에 약한 영향을 미칩니다.

결합 된 큐 비트에서 상관 노이즈에 대한 블로크-스피어 접근

3 개의 단위 2 구와 위상 계수로 매개 변수화 된 2 큐 비트 순수한 상태의 표현에 관한 또 다른 흥미로운 연구 기사가 있습니다. , A) 및 (B, B). 세 번째 구체는 얽힘 측정치 인 동시성 정도와 위상을 매개 변수화합니다.

이 구체는 '가변'복합 허수 단위 t로 간주 될 수 있는데, 여기서 입체 투영법은이 가변 허수 단위를 가진 qubit-A Bloch 구체를 복합 평면에 매핑합니다. 이 Bloch sphere 모델은 분리 가능한 상태와 얽힌 상태 모두에 대해 2 큐 비트 순수 상태에 대한 일관된 설명을 제공합니다.

이 가설에 따라, 세 번째 구 (엉킴 구)는 비 국소 적 속성, 얽힘 및 비 국소 상대적 위상을 매개 변수화하는 반면, 로컬 상대 위상은 두 준 -Bloch 구의 방위각 A 및 B에 의해 매개 변수화됩니다.

두 가지 블로크 구 모델

우리는 Q-CTRL의 Black Opal 패키지 내에 멀티 큐빗 시각화 기능이 있습니다 .

이들은 모두 완전 대화식이며 2 큐빗 시스템의 상호 작용시 상관 관계에 대한 직관을 구축하도록 설계되었습니다.

두 블로흐 구체는 두 큐 비트의 관련 분리 가능 상태를 나타냅니다. 가운데의 사면체는 두 큐 비트의 특정 투영 간의 상관 관계를 시각적으로 포착합니다. 얽힘이 없으면 Bloch 벡터는 각 구의 표면에 완전히 존재합니다. 그러나 완전히 얽힌 상태는이 표현의 상관 공간에만 독점적으로 존재합니다. 이러한 공간의 극단은 Bell 상태와 같이 최대로 얽힌 상태이지만 항상 최대 얽힌 상태는 여러 개의 사면체 내에 동시에 존재할 수 있습니다.

"2 큐 비트 순수한 상태를위한 블로크 구체 모델"이라는 제목의 논문이 발표되었습니다.

https://arxiv.org/abs/1403.8069