근사 단위 행렬

나는 현재 2 개의 단일 행렬을 가지고 있는데, 가능한 적은 양자 게이트로 좋은 정밀도로 근사하고 싶습니다.

필자의 경우 두 행렬은 다음과 같습니다.

NOT 게이트의 제곱근 (전역 위상까지) $G = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} i & 1 \\ 1 & i \end{matrix}) = e^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{X}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$여 = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

내 질문은 다음과 같습니다

가능한 적은 양자 게이트와 우수한 정밀도로 이러한 특정 행렬을 어떻게 근사 할 수 있습니까?

내가 가질 수있는 것은 그것을 가질 여유가 있습니다.

몇 일 / 주 동안의 CPU 시간과 많은 RAM 을 사용할 여유가 있습니다 .
나는 수학적인 속임수를 찾기 위해 인간의 하루나 이틀을 보낼 수 있습니다 (마지막 수단으로, 여기에 내가 먼저 묻습니다). 이번에는 첫 번째 포인트에 사용 된 가상 알고리즘을 구현하는 데 필요한 시간은 포함되지 않습니다.
분해가 거의 정확하기를 원합니다. 현재 목표 정확도가 없지만 위의 2 게이트는 회로에 광범위하게 사용되며 오류가 너무 많이 누적되는 것을 원하지 않습니다.
분해가 가능한 한 적은 양자 게이트를 사용하기를 원합니다. 이 시점은 현재 보조입니다.
좋은 방법은 양자 게이트 수와 근사 정밀도 사이에서 원하는 트레이드 오프를 선택할 수있게 해줍니다. 이것이 가능하지 않다면, 최소한의 정확도 $10^{-6}$ 필요 (내가하지 않도록이 임계 값의 생각, 그래서 전에 말했듯이, 나는 추정이없는) (추적 규범의 측면에서)이 아마도.
게이트 세트는 ${H, 엑스, 와이, 지, {아르 자형}_{ϕ}, 에스, 티, {아르 자형}_{엑스}, {아르 자형}_{와이}, {아르 자형}_{지}, CX, 교환, iSWAP, \sqrt{교환}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ 와 $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ 에 기재된위키, $R_A$ 도끼에 대하여 회전 $A$ ( $A$ 하나 인 $X$ , $Y$ 또는 $Z$ 와) $iSWAP = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 나는 & 0 \\ 0 & 나는 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ .

내가 아는 방법 :

Solovay-Kitaev 알고리즘. 이 알고리즘을 구현했으며 이미 여러 단일 행렬에서 테스트했습니다. 이 알고리즘은 상당히 긴 시퀀스를 생성하며 트레이드 오프 [퀀텀 게이트 수] VS [근사 정밀도]는 충분히 매개 변수화 할 수 없습니다. 그럼에도 불구하고, 나는이 게이트에서 알고리즘을 실행하고 내가 얻은 결과 로이 질문을 편집 할 것입니다.
1 큐빗 게이트 근사 와 n 큐빗 게이트 근사 에 관한 두 종이 . 또한 이러한 알고리즘을 테스트해야합니다.

편집 : "제곱근"을 더 명확하게하기 위해 질문을 편집했습니다.

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— 넬리 미
소스

특정 게이트 세트를 염두에두고 큐 비트에서

기본적으로 / 직접 구현할 수없는 이유가 있습니까?

G

$G$

— Mithrandir24601

내가 생각했던 게이트 세트를 정확하게 편집 :)

— Nelimee

오른쪽 sqrt (SWAP) + 하나의 CNOT + 단일 큐 비트 게이트로 W를 수행 할 수있는 것처럼 보입니다.

— Norbert Schuch

정교하게 신경 쓰지 않는다면 이것으로 무엇을하려고하는지 궁금합니다.

— psitae

이 두 개의 게이트는 양자 회로에 나타나 매우 단순한 해밀턴 인 (실제 항목 만 있거나 가상 항목 만있는 1- 스파 스 하 밀톤 인)을 시뮬레이션합니다. 이에 대한 논문은 얻기가 매우 어렵습니다. 내가 찾은 유일한 방법은 여기 에 사본을 요청하고 사서함에서 답변을 기다리는 것입니다. :)

— Nelimee

구현할 두 가지 간단한 매트릭스를 선택했습니다.

첫 번째 연산 (G)은 X 게이트의 제곱근입니다 (전역 위상까지).

게이트 세트에서 이것은 $R_X(\pi/2)$ 입니다.

두 번째 연산 (W)은 동일성 행렬의 중간 2x2 블록에있는하다 마드 행렬입니다. 이 2x2-in-the-middle 패턴을 볼 때마다 "CNOT에 의해 제어되는 조작 된 조작"을 생각해야합니다. 그리고 그것은 정확히 여기서 작동합니다 (참고 : 라인을 바꿔야 할 수도 있습니다; 엔디안 규칙에 따라 다름) :

따라서 유일한 문제는 제어 된 Hadamard 작업을 구현하는 방법입니다. 하다 마드는 X + Z 축을 중심으로 한 180도 회전입니다. Y 축을 중심으로 45도 회전하여 X + Z 축을 X 축으로 이동 한 다음 CNOT를 CH 위치에 놓고 축을 뒤로 이동할 수 있습니다.

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— 크레이그 거 드니
소스

$W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

구성은 2 개의 CNOT 게이트와 최대 12 개의 단일 큐 비트 게이트 (실제 2 큐 비트 게이트의 경우 가장 일반적인 경우)가 필요하다는 점에서 최적입니다. 구조는 동질성을 기반으로합니다.

에스 영형 (4) \approx 에스 유 (2) \times 에스 유 (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$

W

$W$

여 = 미디엄 유 {미디엄}^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

$M$ $M$

이 구성을 사용하면 Vatan과 Williams가 제공하는 전체 게이트 구현은 다음과 같습니다.

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$ $B$

— 데이비드 바 모쉐
소스

이 게이트 중 어느 것도 대략적인 시퀀스를 요구하지 않습니다. 큰 노력없이 지정된 게이트 세트로 정확하게 구현할 수 있습니다.

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— 다 프트 울리
소스