브라켓 표기법은 어떻게 작동합니까?

양자 알고리즘은 종종 설명에서 브라켓 표기법을 사용합니다. 이 대괄호와 세로선은 무엇을 의미합니까? 예를 들면 다음과 같습니다.$|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

이것은 수학에 대한 의문의 여지가 있지만,이 유형의 표기법은 특히 양자 계산을 다룰 때 자주 사용되는 것으로 보입니다. 다른 문맥에서 사용 된 것을 본 적이 없습니다.

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편집하다

마지막으로, 선형 대수학에 대한 표준 표기법을 사용하여 벡터와 내부 제품을 표시 할 수 있으며, 이러한 객체와 연산자를 사용하는 일부 다른 필드는 브라켓 표기법을 사용하지 않고 그렇게합니다.

이것은 브라켓이 양자 알고리즘을 나타내는 데 특히 유용한 몇 가지 차이점 / 이유가 있다고 결론 내립니다. 그것은 사실의 주장이 아니며, 나는 그것을 관측으로 의미했습니다. "다른 곳에서 사용 된 것을 본 적이 없습니다"는 "다른 상황에서는 사용되지 않습니다"와 같은 말이 아닙니다.

다른 사람들이 이미 설명했듯이 ket 는 단지 벡터입니다. 브래지어벡터의 은자 공액입니다. 일반적인 방법으로 숫자가있는 벡터를 곱할 수 있습니다.$\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

이제 재미있는 부분 온다 : 당신은 두 벡터의 스칼라 제품을 쓸 수 있습니다 와 로 .$\left|\psi\right>$$\left|\phi\right>$$\left<\phi\middle|\psi\right>$

연산자를 벡터에 적용 할 수 있습니다 (유한 차원에서는 행렬 곱임) .$X\left|\psi\right>$

대체로이 표기법은 매우 편리하고 직관적입니다. 자세한 내용은 Wikipedia 기사 또는 Quantum Mechanics에 대한 교과서를 참조하십시오 .

및 은 2 차원 복소 벡터 공간에 상주 하는 양자 비트 의 두 개의 직교 정규 기본 상태 ( "ket"로 표시)로 생각할 수 있습니다. 표시되는 선과 괄호는 기본적으로 양자 역학에서 일반적으로 사용되는 브라켓 표기 ( 일명 Dirac 표기법 )입니다.| 0 ⟩ | 1 $|0\rangle$$|1\rangle$

예를 들어 | 0 ⟩ 전자의 상태 스핀 다운 - 더를 나타낼 수있는 동안 | 1 ⟩는 스핀 업 상태를 나타낼 수 있습니다. 그러나 실제로 전자는 두 상태, 즉의 선형 중첩 될 수 있습니다 | ψ ⟩ 전자 = | 0 ⟩ + B | 1 ⟩ (이 보통 같은 규격화 ) .$|0\rangle$$|1\rangle$$|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$| 0 ⟩ + B | 1 ⟩√| | 2 + | b | 2 a,b∈$\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$$a,b\in \Bbb{C}$

이 대괄호와 세로선은 무엇을 의미합니까?

표기법 | V ⟩ 수단 정확히 같은 일 → V 또는 V는 , 즉, 누구의 이름이 "V"입니다 벡터를 의미한다. 그게 다야. 더 이상 미스터리 나 마술은 없습니다. 상징 | ψ ⟩ 의미 "PSI"라는 벡터.$\left \lvert v \right \rangle$$\vec{v}$$\textbf{v}$$\left \lvert \psi \right \rangle$

상징 | ⋅ ⟩ 는 "KET"라고하지만, 그것은 단지뿐만 아니라 (그리고 내 의견으로한다) 전혀 의미의 전혀 손실과 함께 "벡터"라고 할 수있다.$\left \lvert \cdot \right \rangle$

이것은 수학에 대한 의문의 여지가 있지만,이 유형의 표기법은 특히 양자 계산을 다룰 때 자주 사용되는 것으로 보입니다. 다른 문맥에서 사용 된 것을 본 적이 없습니다.

이 표기법은 물리학 자 ( Paul Dirac )에 의해 발명되었으며 "Dirac 표기법"또는 "bra-ket 표기법"이라고 합니다. 내가 아는 한, Dirac은 양자 역학을 공부하면서 그것을 발명했을 것이므로, 역사적으로이 표기법은 양자 역학, 즉 양자 상태에 나타나는 벡터를 나타내는 데 주로 사용되었습니다. 브라켓 표기법은 양자 계산뿐만 아니라 모든 양자 역학 맥락 에서 표준입니다 . 예를 들어, 양자 시스템의 역학과 관련이 있고 수십 년 전 양자 계산을 앞둔 슈뢰딩거 방정식 은 브라켓 표기법을 사용하여 작성됩니다.

또한,이 표기법은 다른 선형 대수 문맥에서 매우 편리하며 양자 역학 외부에서 사용됩니다.

이것은 브라켓이 양자 알고리즘을 나타내는 데 특히 유용한 몇 가지 차이점 / 이유가 있다고 결론 내립니다.

이미 허용 된 답변과 'ket', 'bra'및 스칼라 곱 표기법을 설명하는 답변이 있습니다.

강조 표시된 항목에 조금 더 추가해 보겠습니다. 유용하고 편리한 표기법은 무엇입니까?

브라켓 표기법이 실제로 많이 사용되는 첫 번째 것은 고유 값과 관련된 (일반적으로 Hermitian) 연산자의 고유 벡터를 나타내는 것입니다. 고유 값 방정식 A ( v ) = λ v 가 있다고 가정 하면 A | λ ⟩ = λ | λ ⟩ , 그리고 아마도 몇 가지 추가 라벨 K 일부 축퇴가있는 경우 , A는 | λ , K ⟩ = λ | λ , K ⟩ .$A(v)=\lambda v$$A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$$k$$A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

당신은 이것이 양자 역학 전체에 적용되는 것을 보았고, 운동량 고유 상태는 | → K ⟩ 또는 | → 페이지 ⟩ 단위에, 또는 여러 입자 상태에 따라 | → p 1 , → p 2 , → p 3 … ⟩ ; 보스 및 페르미 시스템 많은 신체 시스템에 대한 직업 번호 표시 | n 1 , n 2 , … ⟩ ; 보통의 고유 상태를 취하는 회전 반 입자 S의 $\left|\vec{k}\right\rangle$$\left|\vec{p}\right\rangle$$\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$$\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$$S_z$때때로 쓰는 연산자 | + ⟩ 및 | - ⟩ 또는 | $\left|+\right\rangle$$\left|-\right\rangle$⟩ 및 | $\left|\uparrow\,\right\rangle$short 등의 약어 | ± ℏ / 2 ⟩ ; L 2 및 L z 함수의 고유 함수 인 구형 고조파는 | L , m ⟩ 와 L = 0 , 1 , 2 , ... 및 m = - (L) , - L + 1 , ... , L - 1 , L $\left|\downarrow\,\right\rangle$$\left|\pm \hbar/2\right\rangle$$L^2$$L_z$$\left|l,m\right\rangle$$l=0,1,2,\ldots$$m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

표기의 편의 한 가지이지만, 디랙 표기법 대수 조작에 기분이 '레고'의 일종 인스턴스에 대한 소요도있다 그래서 S의 X 같은 디랙 표기법 스핀 반 연산자를 S X = $S_x$2 (|↑⟩⟨↓|+|↓⟩⟨↑|)와 같은 상태에 작용| ↑⟩하나는 간단하게$S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$$\left|\uparrow\right\rangle$

$$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$$

이후 ⟨ ↑ | ↑ ⟩ = 1 및 ⟨ ↓ | ↑ ⟩ = 0 .$\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$$\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

양자 알고리즘에 유용한 이유는 무엇입니까?

큐 비트에 적합한 2 단계 시스템이 있다고 가정합니다. 이것은 2 차원 복소 벡터 공간 ( V)을 형성하며, 그 기초는 | 0 ⟩ 및 | 1 ⟩ . 우리 가이 형태의 n 큐빗 이라고 말할 때 , 시스템 상태는 더 큰 공간에 텐서 곱 공간 V ⊗ n을 산다 . 디랙 표기법이 여기에 오히려 편리 할 수 있으며, 기초 상태가 1과 0의 문자열로 표시 한 보통 상태 등을 표시한다 | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩$V$$\left|0\right\rangle$$\left|1\right\rangle$$n$$V^{\otimes n}$| 1001 ,, i 번째 비트에서 1 ↔ 0 을 교환하는 비트 플립 연산자 X i 가 있다고 가정하면 위의 문자열에서 간단하게 작동 할 수 있습니다. 예 : X 3 | 1001 ⟩ = | 1011 ⟩ 및 연산자의 합을 복용 또는 상태의 중첩에 작용하는 것은 그냥 간단하게 작동합니다.$\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$$X_i$$1\leftrightarrow 0$$i$$X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

약간의주의 : 로 작성 상태 | , b를 ⟩ 항상 의미하지 않는다 | ⟩ ⊗ | B ⟩ , 당신은 파동 함수와 두 개의 동일한 페르미온 말을 가지고 예를 들어 φ 케이 한 ( → R 1 ) 와 φ K 2 ( → R 2 ) 일부 기초 세트를 색인 레이블은 다음 하나는의 슬레이트를 결정 상태를 작성할 수 있습니다 페르미온 스 $\left|a,b\right\rangle$$\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$$\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$$\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$√2 (φk는1( → R 1)φK2( → R 2)-φK1( → R 2)φK2( → R 1))속기 같이| φk는1,φK2⟩또는| K1,K2⟩≠| K1

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$$ $\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$⊗ | k는 2 ⟩를 .$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

KET의 표기 | ψ ⟩는 수단 벡터 에서를 어떤 벡터 공간이 우리와 같은 여덟 3 비트 문자열의 모든 복잡한 선형 조합의 공간으로에있어 작업, 000 , 001 , 010 , 등 , 우리는의 상태를 표현하기 위해 사용할 수 있습니다로 양자 컴퓨터. 꾸밈 ψ의 수단 정확히 같은 일 - 더 | ψ ⟩ ket에 표기가 유용 부분적으로 예를 들어, 그것을 강조하기 위해, | 010 interest 는 관심있는 벡터 공간의 요소이며 부분적으로 브래지어 표기법 과 결합하여 그 귀여움을 나타냅니다.$|\psi\rangle$$000$$001$$010$$\psi$$|\psi\rangle$$|010\rangle$

브래지어 표기 ⟨ ψ | 수단 듀얼 벡터 또는 covector -a 일차 함수 값이 벡터의 스칼라 행 벡터에서, 선형 또는지도, | φ ⟩ 는 IS 내부 제품 의 ψ 와 φ가 , 귀엽게 작성 ⟨ ψ | φ ⟩ . 여기서 우리는 임의의 벡터 공간에서 주어지지 않은 내부 생성물의 존재를 가정하지만, 양자 물리학에서는 일반적으로 내부 생성물을 갖는 힐버트 공간 에서 작동 합니다. 벡터의 이중은 때때로$\langle\psi|$$|\phi\rangle$$\psi$$\phi$$\langle\psi|\phi\rangle$(Hermitian) transpose 는 행렬 표현에서 벡터가 열에 해당하고 covector가 행에 해당하고, r o w × c o l u m n 을 곱 하면 스칼라가됩니다. 에르 미트 (Hermitian) 부분은 행렬을 전치 할뿐만 아니라, 그 항목의 복소 공액을 취합니다. 이것은 복소수 a + b i 의 행렬 표현 [ a b - b a ] 을 더 전치합니다 .)$\mathrm{row} \times \mathrm{column}$$\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$$a + b i$

다른 방법으로 쓰면 | ψ ⟩ ⟨ φ | , 당신이 얻을 외적 의 ψ 와 φ 자체에 의해 주어진에 벡터 공간의 선형 변환으로 정의를 | θ ⟩ ↦ ( ⟨ φ | θ ⟩ ) | ψ ⟩ . 즉, 벡터 주어진 θ ,이 벡터 확장 ψ 내적에 의해 주어진 스칼라 기준 ⟨ φ를 | θ $|\psi\rangle\langle\phi|$$\psi$$\phi$$|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$$\theta$$\psi$$\langle\phi|\theta\rangle$. 문제의 작업이 연관되어 있기 때문에, 우리는 괄호하고 명확하게 쓰기를 제거 할 수 있습니다 ( | ψ ⟩ ⟨ φ | ) | θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ φ | θ ⟩ = ⟨ φ | θ ⟩ | ψ ⟩ = ( ⟨ φ | θ ⟩ ) | ψ ⟩ . 그러나 관련된 연산 은 일반적으로 정식 이 아닙니다 .

$$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$$ ⟨ ψ | φ ⟩ = ⟨ φ | ψ ⟩ * , 교체 +를 b를 I 로 - b를 I . in ψ | 와 같이 믹스에 던져진 공간의 다른 변형도있을 수 있습니다. A | φ ⟩ , 선형 기능의 사전 컴포지션으로 동등하게 읽을 수있는 ⟨의 ψ | 벡터에 적용되는선형 변환 A에 의해 | φ ⟩ 또는 일차 함수의 평가로서$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$$a + b i$$a - b i$$\langle\psi|A|\phi\rangle$$\langle\psi|$$A$$|\phi\rangle$⟨ ψ | 변환하여 얻은 벡터에서 | φ ⟩ 선형 변환에 의해.$\langle\psi|$$|\phi\rangle$$A$

이 표기법은 주로 양자 물리학에서 사용됩니다. 수학자 그냥 쓰는 경향이 ψ 물리학 쓸 수있는 곳 | ψ ⟩ ; ψ * covector에 대한 ⟨ ψ | ; 어느 ⟨ ψ , φ ⟩ 또는 ψ * φ 내부 제품; 및 ψ * 의 φ 어떤 물리학 것 표기하기로 ⟨ ψ | A | φ ⟩ .$\psi$$|\psi\rangle$$\psi^*$$\langle\psi|$$\langle\psi,\phi\rangle$$\psi^*\phi$$\psi^*A\phi$$\langle\psi|A|\phi\rangle$