MATLAB 백 슬래시 연산자 는 제곱 행렬의 를 어떻게 해결 합니까?

내 코드 중 일부를 "스톡"MATLAB 코드와 비교했습니다. 나는 결과에 놀랐다.

샘플 코드를 실행했습니다 (Sparse Matrix)

n = 5000;
a = diag(rand(n,1));
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('Inv(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

결과 :

    For a\b
    Elapsed time is 0.052838 seconds.

    For LU
    Elapsed time is 7.441331 seconds.

    For Conj Grad
    Elapsed time is 3.819182 seconds.

    Inv(A)*B
    Elapsed time is 38.511110 seconds.

고밀도 매트릭스의 경우 :

n = 2000;
a = rand(n,n);
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('For INV(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

결과 :

For a\b
Elapsed time is 0.575926 seconds.

For LU
Elapsed time is 0.654287 seconds.

For Conj Grad
Elapsed time is 9.875896 seconds.

Inv(A)*B
Elapsed time is 1.648074 seconds.

도대체 어떻게 대단해?

Matlab에서 '\'명령은 행렬 A의 구조에 의존하고 A의 속성에 대한 검사 (작은 오버 헤드)를 포함하는 알고리즘을 호출합니다.

1. A가 희소하고 밴딩 된 경우 밴딩 솔버를 사용하십시오.
2. A가 상위 삼각 행렬 또는 하위 삼각 행렬 인 경우 역 치환 알고리즘을 사용하십시오.
3. A가 대칭이고 실제 양의 대각선 요소가있는 경우 Cholesky 인수 분해를 시도하십시오. A가 희소 한 경우 먼저 재주문을 사용하여 채우기를 최소화하십시오.
4. 위의 기준 중 어느 것도 충족되지 않으면 부분 피벗과 함께 가우시안 제거를 사용하여 일반 삼각 분해를 수행하십시오.
5. A가 드문 경우 UMFPACK 라이브러리를 사용하십시오.
6. A가 제곱이 아닌 경우 결정되지 않은 시스템에 대해 QR 분해를 기반으로 알고리즘을 사용하십시오.

오버 헤드를 줄이려면 Matlab에서 linsolve 명령을 사용하여 이러한 옵션 중에서 적절한 솔버를 직접 선택할 수 있습니다.

a\b특정 매트릭스의 기능 을보고 싶다면 spparms('spumoni',1)어떤 알고리즘에 영향을 받았는지 정확하게 설정 하고 파악할 수 있습니다 . 예를 들면 다음과 같습니다.

spparms('spumoni',1);
A = delsq(numgrid('B',256));
b = rand(size(A,2),1);
mldivide(A,b);  % another way to write A\b

출력합니다

sp\: bandwidth = 254+1+254.
sp\: is A diagonal? no.
sp\: is band density (0.01) > bandden (0.50) to try banded solver? no.
sp\: is A triangular? no.
sp\: is A morally triangular? no.
sp\: is A a candidate for Cholesky (symmetric, real positive diagonal)? yes.
sp\: is CHOLMOD's symbolic Cholesky factorization (with automatic reordering) successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's numeric Cholesky factorization successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's triangular solve successful? yes.

이 경우 "\"가 "CHOLMOD"를 사용하여 종료 된 것을 볼 수 있습니다.

희소 행렬의 경우 Matlab은 " \"연산에 UMFPACK을 사용 합니다.이 예에서는 기본적으로 값을 통해 실행 a하고 반전 한 다음 값을 곱합니다 b. 그러나이 예제에서는을 사용 b./diag(a)하는 것이 훨씬 빠릅니다.

고밀도 시스템의 경우 백 슬래시 연산자는 조금 더 복잡합니다. 언제 수행 될지에 대한 간단한 설명이 여기에 있습니다 . 그 설명에 따르면, 귀하의 예에서 Matlab은 a\b역 치환을 사용하여 해결할 것 입니다. 일반적인 정사각 행렬의 경우 LU 분해가 사용됩니다.

일반적으로 합리적인 복잡성의 희소 행렬이있는 경우 (즉, 5 포인트 스텐실 일 필요는 없지만 실제로 행당 0이 아닌 숫자의 수인 스토크 방정식의 이산화 일 수 있음) UMFPACK과 같은 희박한 직접 솔버는 일반적으로 문제가 10 만 명 이하인 경우 크롤 로프 솔버를 능가합니다.

다시 말해, 2 차원 이산화로 인한 대부분의 희소 행렬의 경우 직접 솔버가 가장 빠른 대안입니다. 알 수없는 100,000 개 이상을 빠르게 얻는 3D 문제에 대해서만 반복 솔버를 사용해야합니다.