웨이블릿을 PDE에 어떻게 적용 할 수 있습니까?

웨이블릿 방법을 PDE에 적용하는 방법을 배우고 싶지만 불행히도이 주제에 대해 배울 수있는 좋은 자료는 없습니다.

웨이블릿에 대한 많은 소개는 예를 들어, 바람직하게는 적은 웨이블릿의 중첩에 의해 신호를 조립하는 보간 이론에 초점을 둔 것으로 보인다. PDE에 대한 응용은 때때로 그 주제에 대해 깊이 들어 가지 않고 언급됩니다. 나는 WFT를 보았지만 그 주제에 대해 더 이상 지식이없는 사람들을위한 좋은 요약 기사에 관심이 있습니다. 물론 그렇게 할 수 있다고 생각한다면 좋은 요약도 중요합니다.

나는 일반적으로 어떤 종류의 질문이 나타나는지 알고 싶어합니다. 예를 들어, 유한 요소가 일반적으로 Lipschitz 경계가있는 경계 도메인의 PDE에 적용된다는 것을 알고 있습니다. 이는 Ansatz 공간 (적합, 비 적합, 기하 및 조합)을 선택하는 데있어 일반적인 질문입니다. 실제로 Galerkin 이론은 Wavelets와 크게 다르지 않아야합니다.) 나는 구현에서 실현 가능한 수학적 일에 대한 직관을 가지고 있습니다. Wavelet for PDE에 대한 조감도는 나에게 매우 도움이 될 것입니다.

웨이블릿은 훌륭한 다중 분해능 근사 특성을 갖지만 PDE 해결에 ​​특히 인기는 없습니다. 가장 일반적으로 인용되는 이유는 경계 조건을 부과하는 데 어려움, 정렬되지 않은 이방성 처리, 비선형 항의 평가 및 효율성 때문입니다.

웨이블릿은 먼저 완전 적응 방법에 대한 강력한 수렴 결과를 얻었습니다 ( Cohen, Dahmen 및 DeVore 2001 및 2002 참조 ). 그러나이 중요한 이론에 이어 Binev, Dahmen 및 DeVore (2004) 가 순식간 에 전통적인 PDE 문제에 더 적합한 적응 형 유한 요소 방법에 대한 유사한 결과를 입증했습니다. 웨이블릿베이스는 확률 론적 PDE를위한 스파 스 텐서 (sparse tensor) 방법과 같은 높은 차원의 문제와 Schwab 및 Gittelson (2011) 과 같은 논의에 널리 사용됩니다 .

차등 연산자는 웨이블릿 기반으로 표현되고 Jacobi로 사전 조건화 될 때 조건 수를 제한합니다 (따라서 Krylov 방법은 해상도와 상관없이 일정한 수의 반복으로 수렴합니다). 이는 Yserentant (1984), Bank, Dupont 및 Yserentant (1988) 등 의 계층 적 멀티 그리드 방법과 관련이 있습니다. 곱셈 멀티 그리드 방법은 덧셈 방법보다 우수한 수렴 특성을 갖습니다. 표준 멀티 그리드 V 사이클은 일반적인 순서로 웨이블릿 단위로 표준 대칭 Gauss-Seidel과 본질적으로 동일합니다. 이것은 특히 병렬로 구현하는 가장 좋은 방법은 아닙니다.

Calederon-Zygmund 연산자와 의사 차동 연산자는 웨이블릿 기반에서 드문 경우입니다. 따라서 행렬이 소형베이스에 유용한 많은 문제는 웨이블릿베이스를 사용하여 우아하게 처리 할 수 ​​있습니다.$\mathcal H$

차등 연산자는 웨이블릿 기반에서 평가하는 데 상대적으로 더 비싸며 원하는 보존 속성을 설정하기가 어려울 수 있습니다. 일부 저자 (예 : Vasilyev, Paolucci 및 Sen 1995) 는 배열 방법에 의존하고 유한 차분 스텐실을 사용하여 미분 및 비선형 항을 평가합니다. 웨이블릿 확장이 차단되면 (일반적으로 계산 효율성에 적합) 이러한 방법은 블록 구조화 된 AMR과 매우 유사 해집니다.

웨이블릿으로 PDE를 해결하기위한 실질적인 소개로 Beylkin and Keizer (1997) 를 제안 합니다. 광기 코드는이 방법을 기반으로합니다. 몰입 된 경계 ( Reuter, Hill 및 Harrison 2011 참조)는 지원 하지만 복잡한 형상에서 경계 레이어를 효과적으로 표현할 수있는 방법은 없습니다. 이 소프트웨어는 형상이 중요하지 않은 화학 문제에 종종 사용됩니다.

웨이블릿의 일반적인 수치 분석을 위해 Cohen 's 2003 book을 제안 합니다. 주어진 정확도로 평가할 때까지 연속 솔루션을 조작하는 분석 프레임 워크를 제공하며,이 시점에서 웨이블릿 기준이 필요에 따라 평가됩니다.