순전히 회전 최소 제곱 일치

다음 최소 제곱 문제에 대한 방법을 추천 할 수 있습니까?

다음 을 최소화하는 을 . 여기서 R 은 단일 (회전)입니다. 매트릭스.$R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$$\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \min$$R$

$\sum\limits_{i=0}^N (Ax_i - b_i)^2 \rightarrow \min$ (임의의 $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ ) 을 최소화하여 대략적인 해결책을 얻을 수 있습니다. 매트릭스 $A$ 와

• SVD 계산 : $A = U \Sigma V^T$ , \ Sigma 삭제 $\Sigma$및 R \ approx UV ^ T 근사$R \approx U V^T$
• 극점 분해 계산 : $A = U P$ , 스케일 전용 대칭 (그리고 필자의 경우 양의 한정) $P$ 하고 R \ approx U를 근사$R \approx U$

QR 분해도 사용할 수 있지만 아이소 메트릭은 아닙니다 (좌표계의 선택에 따라 다름).

누구든지 적어도이 방법을 알고 있지만 위의 두 방법보다 더 나은 근사치를 알고 있습니까?

이 문제를 와바 (Wahba)의 문제 라고하며 , 그 중 하나의 알고리즘을 Kabsch 알고리즘 이라고 하며, 나중에 가장 인기있는 것은 Davenport q 메소드 라고 합니다. 그것은 공예 방향을 결정하기 위해 항공학에서 분명히 사용되고 연구되었습니다. 방법에 대한 리뷰 가 많이 있습니다.

가장 잘 맞는 것은 반사를 포함 할 수 있습니다.

Kabsch 방법은 3x3 공분산 행렬 SVD를 계산하고 항 (일반적으로 SVD에서 의 마지막 열을 무시하여 설명되는 모듈로 1 반사 )을 삭제합니다. 다른 차원으로 일반화하는 것은 매우 간단합니다.$\Sigma$$U$

Davenport q 메소드는 종종 첫 번째 실용적인 알고리즘으로 선전됩니다. 아마도 누군가가 이유를 말할 수 있습니다. 또한 3x3 공분산 행렬을 구성하지만 회전 행렬을 쿼터니언의 함수로 매개 변수화하고 문제는 대칭 4x4 행렬의 최대 고유 값 고유 벡터 계산 문제가됩니다.

(일부) 가장 인기있는 수치 구현을 QUEST 및 FOMA 라고 합니다. 이러한 방법은 일반적으로 특성 다항식 (가 분위수)을 작성 및 최적화하고 분석적으로 해결 (Kardano 수식을 통해 수행) 또는 뉴턴 반복을 통해 최대 고유 값을 계산하는 주제에 대한 변형입니다.

Schuster 는 또한 반복 알고리즘 변형을 개발하고 분석했습니다.