모양 기능의 기본 설명

나는 학부 과정에서했던 것과 비교하여 좀 더 체계적으로 FEM을 공부하기 시작했습니다. 상용 (및 기타 비상업적) 소프트웨어에서 "FEM"을 사용할 수 있다는 사실에도 불구하고이 방법을 지원하는 지하 기술을 실제로 이해하고 싶습니다. 그렇기 때문에 적어도 숙련 된 기술 사용자에게 기본적인 질문과 같이 여기에 왔습니다.

이제 Zienkwicz의 "Finite element method- The basics"라는 상당히 인기 있고 (엔진이 사용하기 쉬운) 책을 읽고 있습니다. 첫 페이지에서이 책을 읽었지만 Zienkwicz가 설명하는 방식으로 모양 함수의 개념을 아직 이해할 수 없습니다.

내가 읽은 것에서 내가 아는 것은 미지수와 결과 ( in : A k = b ) 를 연관시키는 "강성"매트릭스 는 "노드 간 관계"의 구성 요소를 가지고 있다는 것입니다. "관계"가 변경되면 (즉, 상위 보간으로 변경하는 경우) 노드 사이의 관계에 따라 강성 매트릭스가 변경됩니다.$A$$Ak=b$

그러나이 책에서 정의는 나에게 매우 모호합니다. 어떤 시점에서는 함수를 즉, 항등 행렬과 같이 임의로 선택할 수 있다고 말합니다.

내가 찾은 유일한 설명은 이 블로그 에 있지만 아직 명확하지 않습니다. 누군가 누군가 Shape functon이 무엇이고 stifness matrix에 "넣는"방법에 대해 간단하게 설명 할 수 있습니까?

나는 항상 이산 선형 시스템에 초점을 맞추고 불필요하게 혼란스럽게 작동하는 유한 요소 방법을 설명하는 접근법을 찾았습니다. 처음에는 약간의 수학적 표기법이 포함되어 있어도 반대 방향으로 나아가는 것이 훨씬 명확합니다 (최소한으로 유지하려고 노력할 것입니다).

$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

구조 역학에서 FEM에 대한 공학적 접근 방식에서 표현되는 방식에 따라 부분 미분 방정식을 풀고 있다는 느낌을 잃게됩니다 .

그들은 여러분에게이 행렬을 보여주고, 물리적 의미를 부여하며, 제 생각에 이것은 현장에서 모호한 물리적 직관을 개발하게합니다.

주제라는 주제에 대해 생각하는 것이 도움이 될 수 있습니다. PDE의 경계 값 문제에 대한 해결책은 어떤 모양입니다. VI Arnol 's는 한 번 현장에서 뉴턴의 업적을 칭찬하면서 한마디로 말하면, 그는 우리가 공간의 평면과 표면에서 곡선의 기하학적 문제로 자연 과학의 문제를 재구성 할 수있게함으로써 미분 방정식의 분야를 만들어 놀라운 일을했습니다.

FEM에서는 솔루션에 근사합니다 (FD 및 FVM에서는 지배 방정식에 근사).

Boris Gligorievich Galerkin을 입력하십시오. BG Galerkin은 무엇을 말했습니까?

그는 이렇게 말했다.“ 동일한 기본 기능으로 잔존 할 수 없도록 솔루션을 만드는 데 사용했으면 좋겠습니다. "

(PS이 이야기는 완전히 사실이 아니며 독자들이 (Bubnov-) Galerkin 방법에 대한 더 나은 설명을 찾을 것을 촉구합니다.)

기본 기능 또는 시험 기능은 솔루션을 빌드하는 데 사용하는 기능입니다. 그것들을 사용하여 솔루션의 모양을 근사화하십시오.

$Ku=f$

$Ku=f$

"모양 함수"에 대해 알아야 할 가장 중요한 것은 계산하려는 종속 변수 (예 : 변위)가 요소의 공간 좌표 (예 : x 및 y)의 함수에 따라 어떻게 달라지는 지 설명하는 것입니다. 알려지지 않은 스칼라 파라미터.

모양 함수는 단순한 다항식이고 스칼라 매개 변수는 요소 노드의 종속 변수 값입니다.

이 모양 함수를 사용하여 유한 요소 방정식을 형성하려면 해결하려는 부분 미분 방정식의 "약한 형태"를 설정하는 것과 같은 몇 가지 다른 기본 개념이 필요합니다.

유한 요소법과 관련하여 불필요한 "신비주의"가 많이 있으므로 기본에 대한 철저한 이해를 얻으려는 접근을 권장합니다.

강의는 http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html 에서 강의 4에 있습니다. 특히, 유한 요소 방법을 사용할 때 일반적으로 사용하는 모자 함수를 선택하는 이유에 대한 아이디어를 제공합니다. 즉, 기본 함수의 다른 많은 선택은 똑같이 유효합니다.

모든 요소는 일반화 된 계수와 독립 변수 (x, y, z)로 필드 변수 (종속 변수)의 변동을 표현하는 변위 모델과 연관되어 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 3 노드 이차 요소의 경우 요소 u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 등. 여기에서 ai s는 일반화 된 계수입니다. 그런 다음 ai s를 제거하고 필드 변수의 형상 함수와 노드 값 측면에서 필드 변수의 변화를 표현합니다. 예 : u (x) = N1 u1 + N2 u2 필드 변수의 노드 값과 필드 변수의 변화를 관련시키는 함수를 "SHAPE FUNCTION"이라고합니다. 모양 함수의 수는 노드 수와 노드 당 변수 수에 따라 다릅니다. 따라서 모양 함수는 함수로 볼 수 있습니다. 이는 요소의 내부 지점에서 각 절점 값의 기여도를 나타냅니다. 두 개의 노드 화 된 요소의 경우 노드 1에서 N1의 기여는 1이고 N2의 기여는 0입니다.

노드 2에서 N2의 기여는 1이고 N1의 기여는 0입니다.

요소의 중간 점에서 두 노드는 모두 동일한 가중치 또는 영향을 미칩니다. 따라서 셰이프 함수는 필드 변수가 요소에 따라 어떻게 변할뿐만 아니라 필드 변수의 각 노드 값이 요소의 내부 지점에 미치는 영향도 나타냅니다. 행복한 학습 :)

또한 모양 기능에 대한 자세한 내용은 여기에 설명되어 있습니다. http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Rayleigh-Ritz 방법의 작동 방식을 시각적으로 단계별로 설명합니다. 이 기사를 쓰면 마침내 모양 함수를 이해하는 데 도움이되었습니다.

내 이해에 따라 .. 모양 함수는 필드 변수와 절점 사이의 관계 일뿐입니다.

지구에 외부 하중으로 압력을 가하고 지구가 갈라져 가고 있다고 가정하십시오. 분석 방법에 의해, 우리는 많은 공식을 사용하고 (일부 아시아 대륙과 같은) 지구가 갈라지기 시작한다는 것을 알아냅니다. FEM 방법을 사용하여 지구를 여러 국가, 주 및 도시로 나누고 각 도시를 메쉬하고 마지막으로 모든 도시를 결합하여 지구라는 지구를 형성합니다. 모양 함수는 메시 된 도시 사이를 연결하여 국가와 국가를 형성하고 지구를 형성하는 핵심 요소입니다. 메시를 연결하는 링크입니다. 이것이 완료되면, 하중이 가해지고 균열이 시작되는 곳에서 정확한 장소를 찾을 수 있고 강화 될 수 있습니다.

이것이 도움이 되었기를 바랍니다.

모양 함수에 대해 이해하는 것은 기하학적 모양 노드 좌표를 동일한 모양 함수로 요소 변위와 연결하는 것입니다.

1D 사례를 고려하십시오. 2 개의 노드가있는 막대가 끝납니다.

이 요소를 절점 좌표와 연결하면 보간 함수를 사용하여이 요소의 어느 지점에서든 변위를 찾을 수 있습니다.

따라서 기본적으로 모양 함수는 공간의 어느 지점에서든 훌륭한 방법으로 변형을 찾기 위해 수행하는 근사치입니다.

모양 함수는 요소의 임의 지점에서의 변위를 요소의 노드 변위와 관련시키는 함수입니다. 모양 함수 대 요소의 점에 대한 그래프는 요소의 변형 된 "모양"과 이름 모양 함수를 보여줍니다.