한 차원에서 간단한 전위에서 웨이브 패킷을 산란시키는 간단한 시뮬레이션을 실행하고 싶습니다.

단일 입자에 대한 1 차원 TDSE를 수치 적으로 해결하는 간단한 방법이 있습니까? 나는 일반적으로 순진한 접근 방식을 사용하여 부분 미분 방정식을 통합하려고하면 재난으로 빠르게 끝날 수 있음을 알고 있습니다. 따라서 알고리즘을 찾고 있습니다.

• 수치 적으로 안정적이며
• 구현이 간단하거나 쉽게 액세스 할 수있는 코드 라이브러리 구현
• 합리적으로 빨리, 희망적으로
• 비교적 이해하기 쉽습니다.

또한 스펙트럼 방법, 특히 시간과 무관 한 슈뢰딩거 방정식을 평소와 같이 해결하는 방법에 비해 비교적 명확한 방법을 원합니다. 그러나 B- 스플라인을 사용하는 의사 스펙트럼 방법에 관심이있을 것입니다. 방법이 시간에 따른 잠재력을 가질 수 있다면 그것은 확실히 보너스입니다.

물론 그러한 방법은 항상 여러 가지 단점이 있으므로 그 방법에 대해 듣고 싶습니다. 언제 작동하지 않습니까? 일반적인 함정은 무엇입니까? 어떤 방법으로 추진할 수 있습니까?

슈뢰딩거 방정식은 사실상 반응-확산 방정식 (모든 상수는 1이다). 편미분 방정식에 관해서는 두 가지 방법으로 해결할 수 있습니다.

$$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\nabla^2\psi+V\psi\tag{1}$$

1. 암시 적 방법 (adv : 큰 시간 단계 및 무조건 안정적, disadv : 잘못된 데이터를 제공 할 수있는 매트릭스 솔버 필요)
2. 명시 적 방법 (adv : 구현하기 쉽고 disadv : 안정성을 위해 약간의 시간 단계가 필요함)

포물선 방정식 (선형 들어 와의 2 차 X ), 암시 적 방법은 종종 더 나은 선택이다. 그 이유는 명시 적 방법의 안정성을 위한 조건 이 d t ∝ d x 2를 필요로하기 때문에 매우 작기 때문입니다. 시간 단계에 대한 제한이없는 암시 적 방법을 사용 하여이 문제를 피할 수 있습니다 (실제로는 물리학을 잃을 수 있기 때문에 일반적으로 미친 듯이 크게 만들지는 않지만). 다음에 설명 하는 것은 일반적인 2 차 정확 (공간 및 시간) 암시 적 체계 인 Crank-Nicolson 방법 입니다.$t$$x$$dt\propto dx^2$

초보자

PDE를 계산적으로 해결하려면 PDE를 이산해야합니다 (변수를 그리드에 맞추십시오). 가장 직설적 인 것은 직사각형의 직교 그리드입니다. 여기서 은 시간 인덱스를 나타내고 (항상 수퍼 스크립트 임) j 는 위치 인덱스를 나타냅니다 (항상 첨자). 위치 의존 변수에 Taylor 확장 을 사용함으로써 , 식 (1)은 i ψ n + 1 j − ψ $n$$j$ 우리가 가정 한V=V(X). 다음에 일어날 일은 공간 및 시간 지수와 같은 그룹화입니다 (수학을 다시 확인하고 싶을 수도 있습니다).

$$i\frac{\psi^{n+1}_j-\psi_j}{dt} = -\frac12\left(\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-2\psi_j^{n+1}+\psi_{j-1}^{n+1}}{dx^2}+\frac{\psi_{j+1}^{n}-2\psi_j^{n}+\psi_{j-1}^{n}}{dx^2}\right) \\ +\frac12\left(V_j\psi_j^{n+1} +V_j\psi_j^n\right)$$ $V=V(x)$ 이 방정식의 형태는 (A0A−00⋯A+A0A−0⋯0A+A0A−⋯⋮⋮⋮⋱⋮)(ψ n + 1 0 ψ n + 1 1 ⋮ψ n + 1 J − 1 )= $$\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j+1}^{n+1}+\left(i-\frac{dt}{dx^2}-\frac12V_j\right)\psi_j^{n+1}+\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j-1}^{n+1}=\\ i\psi_j^n-\frac12\frac{dt}{dx^2}\left(\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n\right)+\frac12V_j\psi_j^n\tag{2}$$ 이것은 삼각 행렬로 불리우며 알려진 해결책이있습니다. 명시 적 방법은iψ n + 1 j 항을제외하고 식 (2)의 전체 왼쪽 (또는 맨 위 줄)을 긁습니다. $$\left(\begin{array}{ccccc}A_0 & A_- & 0 & 0 &\cdots\\ A_+ & A_0 & A_- & 0 &\cdots\\ 0 & A_+ & A_0 & A_- &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n+1} \\ \psi_1^{n+1}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n} \\ \psi_1^{n}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n}\end{array}\right)$$ $i\psi_j^{n+1}$

이슈

암시 적 방법으로 찾은 가장 큰 문제는 경계 조건에 크게 의존한다는 것입니다. 경계 조건을 잘못 정의 / 구현 한 경우 셀에 잘못된 진동이 발생하여 결과가 나빠질 수 있습니다 ( 유사한 주제에 대한 SciComp 게시물 참조 ). 이것은 실제로 당신의 계획 이 제시 해야하는 2 차보다는 공간에서 1 차 정확도를 갖습니다 .

암시 적 방법은 병렬화가 어려울 것으로 예상되지만 1D 열 방정식에만 사용했으며 병렬 지원이 필요하지 않으므로 주장을 확인하거나 거부 할 수 없습니다.

또한 웨이브 함수의 복잡한 특성이 계산에 어떤 영향을 미치는지 잘 모르겠습니다. 내가 한 작업은 오일러 유체 역학 방정식을 사용 하므로 음이 아닌 크기로 전적으로 실제입니다.

시간에 따른 잠재력

$V\propto \cos(\omega t)$$t$$V_j$$t+dt$

대안

$dt\propto dx^2$$dt$$dt/N$$N$$\Delta T=N^2dt$$N$$Ndt$제 시간에). (크랭크 니콜슨 방식을 사용하여 한 프로세서에서 다른 프로세서로 데이터를 병합하는 데 사용되는 한 셀에서 다른 셀로 잘 정의 된 "플럭스"가 있기 때문에이 방법을 사용하지 못했습니다.)

편집 주목할 점은이 방법이 시간 순서대로 정확하다는 것입니다. 그러나 Runge-Kutta 2 방법을 함께 사용하면 시간 순서에 따라 2 차 순서가 정확합니다.

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j-1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j+1}^n}{dx^2}$$ $$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{dx^2}$$ $n+1$

$\psi=R+iI$

$$\begin{eqnarray}\frac{dR}{dt}&=&HI \\ \frac{dI}{dt}&=&-HR \\ H&=&-\frac{1}{2m}\nabla^2+V\end{eqnarray}$$

$R$$I$$R$$0,\Delta t,2\Delta t,...$$I$$0.5\Delta t, 1.5\Delta t,...)$

$$R(t+\frac{1}{2} \Delta t)=R(t-\frac{1}{2} \Delta t)+\Delta t HI(t)$$

$$I(t+\frac{1}{2} \Delta t)=I(t-\frac{1}{2} \Delta t)-\Delta t HR(t)$$

$$\nabla^2\psi(r,t)=\frac{\psi(r+\Delta r,t)-2\psi(r,t)+\psi(r-\Delta r,t)}{\Delta r^2}$$

$\Delta t$

확률 밀도를 다음과 같이 정의

$$P(x,t)=R^2(x,t)+I(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)I(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)$$

$$P(x,t)=R(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)R(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)+I^2(x,t)$$

알고리즘을 단일화하여 확률을 보존합니다.

충분한 코드 최적화를 통해 80486 컴퓨터에서 매우 멋진 애니메이션을 실시간으로 계산할 수있었습니다. 학생들은 잠재력을 끌어 내고 총 에너지를 선택하며 가우스 패킷의 시간 진화를 볼 수 있습니다.

$x$$t$

당신이하고있는 일은 다양한 단면 (시간에 따라 변하는 전위와 유사)의 도파관을 통한 광 전파를위한 위장 된 빔 전파 방법 의 위장 버전 이므로 이것도 찾아 보는 것이 도움이 될 것입니다.

SSFM / BPM을 보는 방법은 다음과 같습니다. 그 근거는 거짓말 이론의 Trotter 제품 공식입니다.

$$\tag{1}\lim\limits_{m\to\infty}\left(\exp\left(\mathcal{D}\,\frac{t}{m}\right)\,\exp\left(\mathcal{V}\,\frac{t}{m}\right)\right)^m = \exp((\mathcal{D+V}) t)$$

$x-y$$x-y-z$$\psi(x,y,z)$$t$$N$$\Psi$$1024\times1024$$N=1024^2=1\,048\,576$

$$\tag{2}\mathrm{d}_t \Psi = K\Psi = (\mathcal{D+V}(t)) \Psi$$

$K = \mathcal{D+V}$$N\times N$$\mathfrak{u}(N)$$\Psi$$\exp(K\,t)$$i\hbar$$K = \mathcal{D+V}$$N$$\mathfrak{U}(N)$$\mathcal{D+V}$$i\,\hbar\,\nabla^2/(2\,m) - i\hbar^{-1}V_0 + i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t_0))$$V_0$

우리는하자 :

$$\tag{3}\begin{array}{lcl}\mathcal{D} &=& i\frac{\hbar}{2\,m} \nabla^2 - i\hbar^{-1}V_0\\ \mathcal{V}&=&i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t))\end{array}$$

왜 이렇게 나누 었는지 아래에서 명확해질 것입니다.

$\mathcal{D}$$\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

1. $\Psi$$\tilde{\Psi}$$x,\,y,\,z$$k_x,\,k_y,\,k_z$
2. $\tilde{\Psi}\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \tilde{\Psi}$$\exp(i\,\Delta t (V_0-k_x^2+k_y^2+k_z^2)/\hbar)$

3. $\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

   $\mathcal{V}$$\mathcal{V}$

4. $\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{V}) \Psi$$\exp(i\,\Delta t\,(V_0-V(x,y,z,t))/\hbar)$

$\Delta t$$V(x,y,z,t)$

$\Delta t$$\exp(\mathcal{D+V}\,\Delta t)\approx\exp(\mathcal{D}\,\Delta t)\,\exp(\mathcal{V}\,\Delta t)$$\mathcal{V}$$\mathcal{D}$

이산 된 세계에서도 단일 연산자 인 FFT와 순수한 위상 요소 만 부여합니다.

$\Delta t$$\Delta x$$\Delta x/\Delta t$$c$

이런 종류의 것들에 대한 두 번째 "경험"포인트-나는 이것이 당신이 당신의 아이디어를 따라가는 방법이라고 거의 기꺼이 내기 것입니다. 우리는 종종 간단하고 빠르며 더러운 시뮬레이션을하고 싶은 아이디어를 가지고 있지만 결코 그렇게되지 않습니다! 위에서 설명했듯이 SSFM부터 실행하기가 매우 쉬우므로 그 결과가 물리적인지 여부를 빠르게 확인할 수 있습니다. 나중에 Mathematica SSFM 코드를 사용하여 Kyle Kanos의 대답에 따라 Crank Nicolson 코드를 작성할 수있는보다 정교한 코드의 결과를 확인할 수 있다고 말합니다 .

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오류 바운드

Baker-Campbell-Hausdorff Theorem의 Dynkin 공식 구현 :

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2 + \cdots\right)$$ $\Delta t>0$

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^3)\right)$$

$\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right)$$\Delta t$

$$\frac{\Delta t^2}{2}[\mathcal{D},\,\mathcal{V}] = -\frac{i\,\Delta t^2}{2\,m}\,\left(\partial_x^2 V(x,\,t) + 2 \partial_x V(x,\,t)\,\partial_x\right)$$

$[\mathcal{D},\,\mathcal{V}]$$\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) \approx e^{-i\,\varphi\,\Delta t^2}\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right)$$\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right) \,\psi$$\psi(x,\,t)$$\Delta t$$\varphi$$\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2$$\exp\left(\int \varphi\,\mathrm{d}t\right)$

SSFM / BPM의 오류에 대한 관련 논문은 다음과 같습니다.

라스 틸렌. "빔 전파 방법 : 적용 가능성 분석", Optical and Quantum Electronics 15 (1983) pp433-439 .

Lars Thylén은 비거의 이론적 용어로 오류에 대해 생각합니다 (Lie 그룹은 구부러져 있으므로 해석을 찾고 싶습니다). 그의 아이디어는 본질적으로 위와 동일합니다.

FDTD (finite-difference time-domain) 방법을 사용하는 것이 좋습니다. 나는 심지어 대부분의 질문에 대답해야 할 튜토리얼을 썼다.

JR Nagel, "슈뢰딩거 방정식에 적용되는 유한 차분 시간 영역 알고리즘의 검토 및 적용"ACES Journal, Vol. 2009 년 2 월 24 일 1 일

1D 시스템에서 잘 작동하는 Matlab 코드가 있습니다. FDTD에서 전자기 작업을 수행 한 경험이 있다면 양자 역학에도 효과적입니다. 관심이 있다면 코드를 게시 할 수 있습니다.

기본적으로 미분 값을 유한 한 차이로 나눠서 파동 함수에서 직접 작동합니다. 크랭크-니콜슨 방식과 비슷하지만 정확히는 아닙니다. 전자기파 이론의 FDTD에 익숙하다면 Schrodinger 방정식을 풀 때 FDTD가 매우 직관적입니다.

가장 간단한 유한 차분 법은 빠르고 이해하기 쉽지만 시간이 단일하지 않으므로 확률이 보존되지 않습니다. Crank-Nicholson-Crout은 전진 및 후진 유한 차분 법을 평균화하여 이해하기 쉽고 구현하기 쉽고 시간에 단일 한 하이브리드 암시 적 / 명시 적 방법을 생성합니다. 이 사이트는 방법을 잘 설명하고 의사 코드를 제공하며 관련 속성을 제공합니다.

http://www.physics.utah.edu/~detar/phycs6730/handouts/crank_nicholson/crank_nicholson/ 참고 :이 링크 중 하나의 방정식 LHS에서-부호가 누락되어 페이지 전체에 전파됩니다.

비 단일성은 어디에서 오는가?

간단히 말해서, TDSE를 해결하면 처리 방법을 알아낼 수 있습니다.

$| \psi(x,t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(x,0)\rangle$

지수에 미분 연산자가 포함되어 있습니다.

순방향 유한 차분을 적용하면 미분 연산자가 3 각형 행렬로 변환되고 (실수를 그리드로 변환) 지수가 Taylor 시리즈의 처음 두 항으로 지수가됩니다.

$e^{-iHt}\approx1-iHt$

이러한 이산화 및 선형화는 비 일관성을 유발합니다. (삼각형 행렬이 직접 계산에 의해 단일하지 않음을 보여줄 수 있습니다.) 전방 유한 차이와 후방 유한 차이를 결합하면 근사값이 생성됩니다.

$e^{-iHt}\approx \frac {1-\frac{1}{2} iHt} {1+\frac{1}{2} iHt}$

친절하게는 단일화됩니다 (직접 계산으로 다시 표시 할 수 있음).

여기에 몇 가지 답변과 의견이 TDSE와 파동 방정식을 혼동합니다. 아마도 의미 론적 문제 일 것이다. TDSE는 고전적 비 상대적 하밀 토니안 의 양자화 된 버전입니다.

$$H=\frac{p^2}{2m} + V(x)= E.$$ $$p \rightarrow i\hbar\partial_x,\ \ E\rightarrow i\hbar\partial_t, \ \ x\rightarrow x,$$ $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{xx} + V(x)\right]\psi = i\hbar\partial_t\psi,$$ $^2$ $$\partial_{xx}\psi = \partial_{tt}\psi +\dots$$

$$\vec{\psi}^{n+1}=({\cal I} + \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})^{-1} ({\cal I} - \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})\vec{\psi}^{n}$$ ${\cal I}$ $$H_{jk}=(\tilde{H})_{jk}=\frac{-\hbar^{2}}{2m}\left[\frac{\delta_{j+1,k}+\delta_{j-1,k}-2\delta_{jk}}{h^{2}}\right]+V_{j}\delta_{jk}.$$ $\psi$$\psi$$\psi_s=e^{ikx}/\sqrt{L}$ $$\int |\psi|^2 dx$$ $$cp=E$$ $c$ $$ic\hbar\partial_x=i\hbar\partial_t$$ 즉, 분산이없는 이류 방정식 (Lax-Wendroff 방법과 올바르게 통합 된 경우)이며,이 경우 웨이브 패킷이 시간에 따라 퍼지지 않습니다. 양자 아날로그는 질량이없는 입자 Dirac 방정식입니다.