"이중 사전 조정"을 수행 할 방법이 있습니까?

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질문:

당신이 대칭 긍정적 인 확실한 매트릭스에 대한 두 가지 (고려) preconditioners 있다고 가정 : 및 요인의의 역수 됩니다 적용하기 쉽습니다. $A$

ㅏ \approx 비^{티} 비

$A \approx B^TB$

ㅏ \approx 씨^{티} 씨,

$A \approx C^TC,$

B, B^{T}, C, C^{T}

$B, B^T, C, C^T$

때이 정보를 사용할 수 모두 와 중보다 더 나은 예비 - 건설 또는 형을? $B$ $C$ $B$ $C$

— 닉 알거
소스

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첨가제를 사용할 수 있습니다

피_{ㅏ}^{- 1} 엑스 = (비^{티} 비)^{- 1} 엑스 + (씨^{티} 씨)^{- 1} 엑스,

$P_a^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} x,$

곱셈

피_{미디엄}^{- 1} 엑스 = (비^{티} 비)^{- 1} 엑스 + (씨^{티} 씨)^{- 1} (엑스 - ㅏ (비^{티} 비)^{- 1} 엑스),

$P_m^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} \Big(x - A (B^T B)^{-1} x \Big),$

또는 대칭 곱셈. 이 클래스의 방법은 PETSc의 PCCOMPOSITE를 사용하여 PETSc 에서 사용할 수 있습니다 . 예를 들어

petsc/src/ksp/ksp/examples/tutorials$ ./ex2 -m 100 -n 100 -ksp_monitor \ -pc_type composite -pc_composite_type multiplicative \ -pc_composite_pcs ilu,gamg 0 KSP Residual norm 7.088415699389e+01 1 KSP Residual norm 1.271768323411e+01 2 KSP Residual norm 1.529853612054e+00 3 KSP Residual norm 1.214841683459e-01 4 KSP Residual norm 8.341606406485e-03 5 KSP Residual norm 6.471990946051e-04 6 KSP Residual norm 8.082672366030e-05 7 KSP Residual norm 6.111138513482e-06 Norm of error 6.93786e-06 iterations 7

사용자 설명서는 "Preconditioners 결합"에 대한 섹션이 있습니다.

— 제드 브라운
소스

훌륭 해요, 고맙습니다! 이러한 조합이 효과적이거나 효과가없는 조건에 대해 논의하는 이론이나 논문을 알고 있습니까, 아니면 시행 착오에 불과합니까?

— Nick Alger

모든 사전 조정과 마찬가지로 분석은 사전 조정 된 연산자의 스펙트럼을 기준으로하며, 일반적으로 고유 값 문제를 통해 표현됩니다. 직관적으로, 각 전제 조건이 서로 다른 프로세스 또는 스펙트럼의 다른 부분을 목표로하는 경우 조합의 의도는 두 부분을 모두 수정하는 것입니다. 이 클래스의 가장 성공적인 접근 방식은 다중 그리드, 도메인 분해 및 필드 분할 (각각의 리터럴)을 포함하는 부분 공간 수정을 기반으로합니다. PETSc는 이러한 경우 병렬화를 노출 시키거나 중간 결과를 재사용하기 위해보다 전문화 된 전제 조건을 가지고 있습니다.

— Jed Brown

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Jed의 탁월한 답변 외에도 최근에 찾은 방법은 예를 들어

Tezduyar, TE 등 "유한 요소 계산을위한 새로운 혼합 전처리 방법." 응용 역학 및 공학의 컴퓨터 방법 99.1 (1992) : 27-42. http://repository.ias.ac.in/24680/1/320.pdf

— 닉 알거
소스