유한 발전기 세트가 주어지면 행렬 Lie 대수의 기초를 어떻게 계산할 수 있습니까?

(수치) 사각형 복잡한 매트릭스의 임의의 집합을 감안 , I에 의해 생성 된 실수 행렬 리 대수 계산에 관심 , 호출 . 즉, 나는 대한 기초를 원합니다 여기서 는 재귀 적으로 $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

및

에 대한

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

이 계산은 (양자) 제어 이론에서 나온다.

현재 난 방법을 발견 사용하고 여기에 (이 검색 만 반복 사기 브래킷을 통해, 즉 형태의 것 )로 종료됩니다. 그러나 다른 (빠른) 방법이 있는지 알고 싶습니다. 아마도 P. Hall 기지를 사용합니까? 재귀 알고리즘입니까? 현재 나의 기본 언어는 Matlab입니다. $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— 이안 힝 크스
소스

당신의 오리지널 제너레이터가 에르 미트 인이라고 생각합니다. 이것이 사실입니까? 그렇다면 첫 번째 단계는 고유 공간이 다르면 정류자가 0이 아니기 때문에 생성기의 고유 공간을 비교하는 것입니다.

— 잭 폴슨

@JackPoulson 네, A는 Hamiltonians에서 왔으며 Skered-Hermitian도 있습니다 (Schrededinger의 방정식에서 i를 곱하기 때문에 Hermitian은 아닙니다). 이것이 왜 좋은 첫 걸음인지 이해할 수 없습니다. 정류자를 계산하고 그들이 0이 아닌지 확인하는 것이 고유 공간을 다루는 것보다 빠르지 않습니까?

— Ian Hincks

단일 수준의 정류자의 경우 아마도 그렇습니다. 그러나 여러 수준의 정류자를 고려하기 시작하면 조합 폭발이 발생합니다. 알고리즘을 모르지만 일반적으로 최대한 많은 구조를 활용하는 것이 좋습니다. 발전기와 관련된 다른 속성을 알고 있는지 신중하게 생각합니다.

— 잭 폴슨

이 링크 는 P. Hall베이스를 사용하여이 작업을 수행하는 방법을 설명합니다.

$A - p(A)$ $A$ $p$

— 에릭 P.
소스

@EricP 매우 유용한 링크에 감사드립니다. 나는 확고한 이해가없는 자유 거짓말 대수의 맥락에서 P. Hall 기초만을 보았고, 선형 의존적 정류를 제거하는 것에 대한 나의 직관이 정확하다는 것을 알게되어 기쁘다. 수치 정확도는 내가 매우 걱정하는 것입니다. p (A)의 규범과 A의 규범을 비교해야한다는 것을 의미합니까? 그리고 이것은 Ap (A)의 표준을 0과 비교하는 것보다 더 안정적입니까?

— Ian Hincks

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$