작은 결정 요인이 행렬의 잘못된 조건을 의미합니까?

$\det(A) \approx 0$

대화도 마찬가지입니까? 잘못 조정 된 행렬에 거의 제로 결정 요인이 있습니까?

옥타브에서 시도한 것이 있습니다.

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— 검시
소스

행렬식이 행렬인지 규칙인지를 결정합니다. 상태가 좋지 않은지 표시하지 않습니다.

— Allan P. Engsig-Karup

결정 요인의 크기는 잘못된 조건을 반영 할 수 없습니다. 하지만 .

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$

— faleichik

이 생길 수 있어야 또는 어딘가?

\approx

$\approx$

\neq

$\ne$

— Inquest

: 더 매트릭스 스펙트럼에 부동 소수점 연산의 효과에 대한 학습에 관심이 있다면, 당신은 닉 Trefethen의 책 체크 아웃해야 스펙트럼과 Pseudospectra : 비정상 행렬 및 운영자의 행동 과 Pseudospectra 게이트웨이 .

— Aron Ahmadia 2019

답변:

행렬식의 작은 부분이 아니라 특이점에 대한 근접도를 측정하는 것은 조건 번호 가 가장 큽니다. $\kappa(\mathbf A)$

예를 들어, 대각 행렬 작은 결정을 가지고 있지만 잘 조절이다. $10^{-50} \mathbf I$

반대로 Alexander Ostrowski (및 Jim Wilkinson도 연구) 로 인해 다음과 같은 정사각형 상부 삼각 행렬을 고려하십시오 .

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

행렬 의 결정자 는 항상 이지만 가장 큰 대 가장 작은 특이 값의 비율 (즉, 2- 노름 조건 수 $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ )은 Ostrowski에 의해같은 것으로 나타났다 $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ 의 증가에 대해 증가하는 것으로 할 수. $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
소스

@Nunoxic : 가장 확실하지 않습니다. 세부 정보를 시작하기 전에 이미 특이 값 분해에 익숙하십니까?

— JM

아주 좋아요 그게 당신이 알아야 할 전부입니다. 아이디어는 컨디셔닝에 대한 매우 중요한 정보가

집중되어 있다는 것 입니다. 특히, 해당 행렬의 대각선에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다 (분해는

의 대각선 항목 이 음수가 아닌 것으로 정의됨을 기억하십시오 ). 가장 큰 대각선 항목과 가장 작은 대각선 항목의 비율은 조건 번호

입니다. 관심을 가져야하는 조건 번호의 크기는 작업중인 기계에 따라 다릅니다.

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

... 그러나 일반적으로 해당 행렬로 선형 방정식을 풀면 솔루션에서

base-

숫자 가 손실됩니다 . 이는 조건 번호에 대한 대략적인 경험 법칙입니다. 만 16 자리하는 작업을하는 경우 너무

의

문제에 대한 원인이 될 수 있습니다.

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

예, 그러나 조건 번호를 결정하는 데 권장되는 방법 은 아닙니다 (설명은 다른 질문에 대한 것임). 대각선 행렬을 뒤집는 방법을 알고 있다고 가정합니다.

— JM

"등록. 자릿수 손실, 이것에 대한 참조를 해 주시겠습니까?" -할 수는 있지만 이것은 실제로 컴퓨팅 환경에서 강화하기 위해 직접 실험해야 할 것들 중 하나입니다.

— JM

마찬가지로 , 행렬식 (조건 번호를 변경하지 않는다) 단순 스케일링 임의로 크거나 작게 할 수있다. 특히 높은 차원에서 2의 무고한 요소에 의한 스케일링조차도 결정 요인을 크게 변경합니다. $\det(kA)=k^n\det A$

따라서 절대성에 대한 조건 또는 근접성을 평가하기 위해 결정자를 사용하지 마십시오.

반면에, 거의 모든 잘 정립 된 수치 문제의 경우, 조건은 문제를 부정하게 만드는 데 필요한 가장 작은 상대 교란이라는 의미에서 특이점까지의 거리와 밀접한 관련이 있습니다. 특히, 이것은 선형 시스템에 적용됩니다.

— 아놀드 노이 마이어
소스