기하학적 프로그래밍은 볼록 프로그래밍과 어떻게 다릅니 까?

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(일반화 된) 기하 프로그래밍은 일반적인 볼록 프로그래밍과 어떻게 다릅니 까?

기하학적 프로그램은 볼록한 프로그램으로 변환 될 수 있으며 일반적으로 내부 포인트 방법으로 해결됩니다. 그러나 문제를 볼록한 프로그램으로 직접 공식화하고 내부 포인트 방법으로 해결하는 것의 이점은 무엇입니까?

기하학적 프로그램 클래스는 내부 포인트 방법으로 특히 효율적으로 해결할 수있는 볼록 프로그램 클래스의 하위 세트 만 구성합니까? 또는 일반적인 기하학적 프로그램을 컴퓨터가 읽을 수있는 형태로 쉽게 지정할 수 있다는 장점이 있습니다.

반면에 기하학적 프로그램으로는 합리적으로 잘 볼 수없는 볼록한 프로그램이 있습니까?

optimization convex-optimization

— 토마스 클림 펠
소스

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나는 실제로이 질문에 이르기까지 기하학적 프로그래밍에 대해 들어 본 적이 없다. 다음 은 기하학적 프로그래밍에 대한 자습서 인 Stephen Boyd, et al (Vandenberghe는 공동 저자이기도 함) 의 검토 보고서 입니다.

$x^{1/2}$

기하 프로그램을 볼록한 프로그램으로 변환 할 때의 장점은 원래 기하 프로그램이 반드시 볼록한 것은 아닙니다. 기하 프로그램을 비선형 프로그램 (NLP)으로 해결 한 경우 글로벌 최적 솔루션을 보장하기 위해 볼록하지 않은 최적화 방법을 사용해야합니다. 이 방법은 볼록 최적화 방법보다 비싸고 알고리즘 튜닝이 더 필요하며 초기 추측이 필요합니다.

$\mathbb{R}^{n}$ $x > 0$

기하 프로그램 세트가 (로그 지수 변환을 통해) 특히 효율적으로 해결되는 볼록한 프로그램 세트에 매핑되는지는 확실하지 않습니다. 볼록한 프로그램으로의 변환을 넘어서서 기하학적 프로그래밍의 이점을 보지 못했습니다.

마지막 질문에 관해서는, 기하 프로그램 세트가 볼록 프로그램 세트와 동형이라고 생각하지 않으므로 기하 프로그램으로 표현할 수없는 볼록 프로그램과 이러한 프로그램이 있다고 생각합니다. 기하학적 프로그램에 의해 합리적으로 잘 계산할 수없는 것들입니다. 그러나 나는 증거 나 반례가 없습니다.

— 제프 옥스 베리
소스

링크 된 검토 논문의 8 장에서 내 질문을 해결하려고합니다. 그러나 첫 번째 커서 모양을 살펴본 후에 실제로 모든 볼록한 프로그램은 기하학적 프로그램 (물론 로그 변환 됨)에 의해 근사화 될 수 있다는 인상을 얻습니다. 그러나 어떤 선형 프로그램도 "명확하게"기하학적 프로그램이기 때문에 이것은 볼록 프로그램이 선형 프로그램에 의해 근사 될 수 있다는 진술의 변형 일 수 있지만, "합리적으로 추정되는"것은 아닙니다 잘".

— 토마스 Klimpel

기하 프로그래밍이라는 용어가 등장했을 때 일반적인 볼록한 프로그램을 해결하기가 쉽지 않았으며 특수 구조를 활용할 수있었습니다. 물론, 프로그램이 기하학적이라는 것을 인식하면, 볼록 프로그램으로 변환하고 내부 포인트 방법으로 후자를 해결합니다.

— Arnold Neumaier 2018 년

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$f(x) \leq 1$ $f(x)$ $-x-y \leq 1$ $-x-y$ $-x^2-y^2\leq 1$

— 고르다
소스

기하학적 프로그래밍은 볼록한 프로그래밍의 엄격한 부분 집합이 아닙니다. 그러나 로그 지수 변환에서 변환 된 기하학적 프로그램은 볼록한 프로그램입니다.

— 제프 옥스 베리

그래, 내가 말하고자했던 것입니다. 명확성을 위해 수정 된 답변입니다.

— 수신 거부