실제 희소 행렬의 특성 다항식 계산

일반적인 희소 행렬이 주어짐 $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$와 m << N (보정 :$m \ll n^2$) 0이 아닌 요소 (일반적으로 $m \in {\cal O}(n)$). $A$ 이는 특정 특성 (예를 들어, 양의 한정)이없고 구조 (예 : 밴딩)가 없다는 점에서 일반적입니다.

다항식 또는 최소 다항식을 계산 하는 좋은 수치 방법 은 무엇입니까?$A$?

만약 $O(n^3)$복잡성은 스토퍼가 아니며 Danilevskii 방법을보고 싶을 수도 있습니다. 그것은 숫자 선형 대수학에 관한 러시아 문학에서 꽤 잘 알려져 있지만 영어로는 많은 정보가 없습니다. 이 링크 에서 시작할 수 있습니다 .

아이디어는 다소 간단합니다. 매트릭스는 "Gaussian elimination-like"유사성 변환에 의해 Frobenius 정규형 으로 점차 축소됩니다 . 정보를 찾지 못하면 알고리즘을보다 정교하게 만들 수 있습니다.

QR 인수 분해 또는 거듭 제곱 법과 같은 수치 법과 그 실재 (역 제곱 등)를 사용하여 일반 행렬의 고유 값을 계산할 수 있습니다. 그 후, 다음과 같이 인수 분해하여 특성 다항식을 계산할 수 있습니다. (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0 여기서 λi는 계산 된 고유 값입니다. 다음은 전원 및 QR 방법에 대한 간단한 프레젠테이션입니다.

QR- 파워

그건 그렇고 : 당신이 가지고 있다고 말하고 싶습니까 $m \ll O(n^2)$항목? 실제로 $m \ll O(n)$ 그러면 대부분의 행과 열이 완전히 비어 있고 특성 다항식이 실제로 정도가 아닐 가능성이 높습니다. $n$ 그러나 정도 $O(m)$.