초기 값 또는 경계 값 문제의 위치를 ​​결정하기 위해 수치 체계를 사용할 수 있습니까?

IVP 또는 BVP에 솔루션이 있는지, 고유하며, 경계 / 초기 값에 지속적으로 의존 하는지를 입증하기 위해 수학적 분석 기법을 사용할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 일부 PDE, 특히 비선형 pde의 경우, 불가능하지는 않지만 좋은 자세를 증명하는 것은 매우 어렵습니다. 문제가 잘 발생했는지 여부를 확인하는 수치 기술이 있습니까?

일반적으로 아닙니다. 예를 들어 "부동"영역을 식별하기 위해 경계 조건이 충분한 지 여부를 나타 내기위한 수치 측정 방법을 대략적인 척도로 사용할 수 있지만 불연속 솔루션으로 연속성 문제에 대한 잘못된 정보를 제공하는 경우가 많습니다.

1. 이류 확산은 모든 경계에 경계 조건이 필요하지만 이산 시스템은 유출시 경계 조건 을 사용할 수 없습니다 (균일 한 Neumann 조건이 아니라 경계 조건이 없음을 의미 함). 뿐만 아니라 연속 경계 조건의 개별 표현보다 더 정확합니다. 자세한 내용은 Papanastasiou, Malamataris 및 Ellwood 1992 및 Griffiths 1997 을 참조하십시오. 곡선 표면에서의 미끄러짐에도 유사한 경계 조건이 중요합니다 ( Behr 2004 참조) .

2. "탄수화물 현상"은 압축성 흐름에 대한 특정 방법에 영향을 미칩니다. 잘 이해되지는 않지만 겉보기에는 강력한 수치 체계가 가짜 솔루션으로 수렴 될 수 있습니다. Robinet 등 의 예 . 2000 년

3. 층류 영역 내에서 비 ​​압축 Navier-Stokes에 대한 가짜 솔루션. 간단한 뚜껑 구동 공동 예가 Schreiber and Keller 1983에 나와 있습니다.

4. 비 물리적 상대적 크기의 수치 소실을 갖는 쌍곡선 보존법 시스템. 일부 수치 소실이 항상 필요하지만, 그렇지 않으면 강력한 (예를 들어 Godunov) 방법은 수치 소실이 비 물리적 일 경우 체계적으로 잘못된 결과로 수렴 될 수 있습니다. Mishra와 Spinolo 2011 에 간단한 예가 있습니다.여기서 표준 Godunov 방법은 1D 선형화 된 얕은 물에 대해 잘못된 결과로 수렴됩니다. 이것은 큰 와상 시뮬레이션에서 더 깊은 형태로 나타납니다. 와 점도는 서브 그리드 스케일의 물리적 표현이지만 (피할 수없는) 수치 소실이 물리적 소실보다 큰 경우 시뮬레이션은 체계적으로 잘못된 결과로 수렴 될 수 있습니다. 실제로와 점도에 대한 서브 그리드 폐쇄는 매우 중요합니다. 이것은 올바른 (물리적) 경로를 따라 단일 제한을 취하는 문제입니다.

5. 비압축성 흐름에서 탄성 또는 바둑판 모드의 잠금 효과. 이것들은 불안정한 근사 공간을 선택했기 때문에 적어도 선형 문제에 대해서는 현재 잘 이해되고 있지만 수치 적 해법을 사용하여 자세를 추론하면 압축 불가능한 한계가 잘못되었다는 결론을 내릴 수 있습니다.