삼각형에 컴팩트하게 지원되는 함수의 수치 적 통합

제목에서 알 수 있듯이 삼각형에서 컴팩트하게 지원되는 함수 (Wendland의 quintic polynomial)의 적분을 계산하려고합니다. 함수의 중심은 3 차원 공간 어딘가에 있습니다. I는 임의의 기능이 통합되지만 작은 삼각형 ( R은 전자 < ( R은 D I U S / 4 ) (2)$area < \frac{(radius/4)^2}{2}$ ). 현재 Dunavant, 1985 (p = 19)에서 설명한 통합을 사용하고 있습니다.

그러나 이러한 직교 규칙은 간결하게 지원되는 문제에는 적합하지 않은 것 같습니다. 이것은 삼각형을 사용하여 이산화 된 평면에서 $f(r) = [r\leq1]$ (반경 1 원 안에 1 인 함수)을 통합하면 내 (정규화 된) 결과가 사이에 있다는 사실에 의해 뒷받침됩니다 1.001 및 0.897.

내 질문은 이런 종류의 문제에 대해 특수한 직교 규칙이 존재합니까? 하위 합성 통합 규칙이 더 잘 작동합니까?

불행히도이 루틴은 내 코드에서 실제로 중요하므로 정밀도가 중요합니다. 반면에 한 번의 단계로이 통합을 "몇 번"수행해야하므로 계산 비용이 너무 높아서는 안됩니다. 직렬화로 통합 자체를 실행하므로 병렬화는 문제가되지 않습니다.

답변 해 주셔서 감사합니다.

편집 : Wendland의 quintic 다항식은 W ( q ) = [ q ≤ 2 ] α 로 주어집니다$W(q) = [q\leq2]\frac{\alpha}{h^3}(1-\frac{q}{2})^4(2q+1)$과$\alpha = \frac{21}{16\pi}$$q=\frac{\|r-r_0\|}{h}$$r_0$$\mathbb{R}^3$

EDIT2가 : 경우 $\Delta$ 두 개의 차원 삼각형은 그 다음이다 내가 원하는에 계산 $\int_\Delta \omega(r) dr$ 와 $\omega(r) = W(\frac{\|r-r_0\|}{h})$ . 따라서 W의 $q$ 는 0보다 작을 수 없습니다. 적분은 \ mathbb {R} ^ 3 에서 2 차원 표면에 대한 표면 적분입니다.$W$$\mathbb{R}^3$

EDIT3 : 1-D (라인) 문제에 대한 분석 솔루션이 있습니다. 2 차원 (삼각형)에 대한 계산도 가능합니다.

함수는 내에서 부드럽 지 만 고정도 (평면에서)가 아니기 때문에 간단한 적응 체계, 예를 들어 Romberg의 방법을 사용 하는 사다리꼴 규칙 을 두 차원 모두에서 사용하는 것이 좋습니다 .$q \leq 2$

즉, 삼각형이 꼭짓점 , 및 의해 정의되고 ~ 에서 선을 따라 통합 되는 루틴 이있는 경우 다음을 수행 할 수 있습니다 (Matlab 표기법에서).$x$$y$$z \in \mathbb R^3$romb(f,a,b)fab

int = romb( @(xi) romb( W , xi , y+(z-y)*(xi-x)./(z-x) ) , x , z );

에서 romb고정 된 수의 점을 사용하지 말고 두 개의 연속 대각선 간의 차이가 필요한 공차 미만이 될 때까지 테이블을 계속 늘리십시오. 함수가 부드럽기 때문에 오류 추정이 좋습니다.

삼각형의 일부가 의 영역을 벗어나 면 위의 코드에서 적분 한계를 적절히 조정할 수 있습니다.$W(q)$

이것은 문제를 해결하는 가장 계산적으로 효율적인 방법은 아니지만 적응성은 고정 된 규칙보다 훨씬 강력합니다.

Cubature 규칙에 대한 자세한 개요는 "R. Cools, Cubature Formulas J. Complex의 백과 사전, 19 : 445-453, 2003"을 참조하십시오. 고정 규칙을 사용하면 일부 규칙이 다항식을 정확하게 통합한다는 이점을 얻을 수 있습니다 (가우시안 구적법은 1 차원에서와 같이).

Cools는 수치 입방체를위한 소프트웨어 패키지 인 CUBPACK 의 주요 저자 중 하나입니다 .

적분 규칙은 함수가 다항식으로 근사값에 가깝다고 가정합니다. 문제는 간결한 지원과 아무 관련이 없습니다. 컴팩트하게 지원되는 방사형 기저 함수는지지 경계에서 매끄럽고 평활도까지 직교 규칙을 문제없이 사용할 수 있습니다. (더 높은 차수 규칙은 도움이되지 않으므로 5 차 다항식을 정확하게 통합하는 규칙을 사용하지 않아야합니다.)

귀하의 경우, 부정확 좋은 다항식 approximability의 가정은 가까운 삼각형에 대한 귀하의 경우 실패는 사실에서 온다 가 포함되지 않은 경우에도, .$r_0$$r_0$

$W$ 는 의 함수로 매끄럽지 만 는 의 비 매끄러운 함수이며 , 한계에서 무한대로 기울기가있는 그래디언트입니다 . 적분은 이상 이고 복합 함수는 의 비평 활 함수입니다 .$q$$q$$r$$r\rightarrow r_0$$r$$r$

삼각형에 포함되어 있지 않은 경우 함수는 이지만, 더 높은 도함수가 매우 빠르게 커지므로 도움이되지 않으며 고차 방법의 오류는 고차 도함수에 비례하므로 매우 큰 !$r_0$$C^inf$$r_0$

간단한 해결 방법은 각 삼각형 T를 여러 개의 N_T 하위 삼각형으로 나누는 것입니다. 당신이 취할 수 멀리에서 및 에 가까운 . 오프라인 얼마나 큰 알아낼 수 에서 주어진 직경과 거리의 삼각형이어야합니다 원하는 정확도에 도달 할 수 있습니다. 또한 가까운 하위 수식 만 사용해야 합니다.$N_T=1$$r_0$$N_T\gg 1$$r_0$$N_T$$r_0$$r_0$

삼각형을 통합하지만 은 3 차원이므로 삼각형은 분명히 입니다.$r_0$$R^3$

따라서 더 빠른 해결책은 삼각형 좌표의 함수로 대한 적분을 표로 (2 차원 평면 으로 회전하여 하나의 꼭짓점이 축 에 놓 이고 두 번째로 반영 되도록 정규화 됨) 정점이 그 위에 있습니다). 이 표는 선형 또는 2 차 보간을 충분히 정확하게하기 위해 충분히 상세해야합니다. 그러나 먼저 설명한 느린 방법을 사용하여이 테이블을 만들 수 있습니다.$r_0=0$$xy$$x$

문제를 제거하는 또 다른 방법은에서 다항식 인 컴팩트 지원 방사형 기초 기능을 사용하는 것입니다 보다는 . 이것은 모든 곳에서 부드럽고 통합이 쉽습니다.$q^2$$q$