숫자 : 다음 ODE를 다시 정규화하는 방법

이 질문은 문제를 수치 적으로 해결하는 방법에 관한 것입니다.

작은 프로젝트에서 나는 Janus와 Epimetheus의 coorbital motion을 시뮬레이션하고 싶었습니다. 이것은 기본적으로 3 신체 문제입니다. 토성을 원점에 고정시키기 위해 토성을 선택하고, 과 를 각각 janus와 epimetheus의 위치 벡터로 하자 . Janus와 Epimetheus가 매우 가까이있을 때 효과가 발생하므로 및 보다 나은 해상도를 위해 상대 좌표를 선택했습니다 . 이제 다음과 같은 운동 방정식을 얻습니다. $r_1$ $r_2$ $r=r_1-r_2$ $R=r_1+r_2$

\frac{디^{2}}{디 티^{2}} (\binom{아르 자형}{아르 자형}) = - 지 ({미디엄}_{2} \pm {미디엄}_{1}) \frac{아르 자형}{{아르 자형}^{삼}} - 4 미디엄 지 (\frac{아르 자형 + 아르 자형}{(아르 자형 + 아르 자형)^{삼}} \mp \frac{아르 자형 - 아르 자형}{(아르 자형 - 아르 자형)^{삼}})

$\frac {d^2}{dt^2} \binom{R}{r} = - G (m_2\pm m_1) \frac R {R^3} - 4 M G \left(\frac {r+R}{(r+R)^3} \mp \frac {r-R}{(r-R)^3}\right )$

여기서 $m_i$ 는 달의 질량에 해당하고 $M$ 은 토성의 질량이고 $G$ 는 중력 상수입니다. 이 수치를 해결하려고 할 때 문제가 발생합니다. 완전히 다른 크기의 값, 즉 $M \sim e^{28}$ 과 $m_i \sim e^{17}$ 합니다. 그리고 $r$ , $R$ 은 0에서 150,000의 영역에 있습니다.

솔직히 말해서 나는 이것이 그러한 수치 적 문제를 논의하기위한 장소 포럼인지 확실하지 않습니다.

추가 정보:

코드는 Matlab으로 작성되었으며 표준 ODE 솔버를 사용하여 결과를 얻습니다. 그러나 기계 정밀도 하에서 스텝 크기를 줄일 수 없기 때문에 이것은 고장입니다. (이것은 이미 언급 된 크기의 순서를 처리해야하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다.)

ode

— 거트
소스

이 시뮬레이션을 SI 단위로 실행하고 있습니까? 최소한 요소로 모든 것을 나누어야 몇 자릿수를 제거 할 수 있습니다.

G * m_{2}

$G*m_{2}$

안녕하세요, 저는 여전히 작동하지 않습니다 ... 이전과 같은 문제가 발생합니다. :(

질량 단위를 달 질량 중 하나로 설정하고 길이 / 시간 단위를 설정하여 1로 설정해야합니다. 글을 잘 쓰면 1/100보다 작아서는 안됩니다. 처방전없이 구입할 수있는 솔버가 필요하지 않습니다. 이 단계를 제어하는 코드를 직접 작성하십시오. 이러한 유형의 전위를 사용하여 단계별로 세분화하면 충돌에서 발생할 수 있으며, 솔버는 수렴이있을 때까지 단계 화를 줄이려고하며 충돌시 수렴이 없습니다. 궤도가 동일 선상에 있지 않은지 확인해야하므로 시뮬레이션을 봐야합니다. 있는 그대로 답변을 얻을 수 없습니다.

— Ron Maimon

약어는 피하십시오. DGL = 디퍼 럴 글레이 청?

어떤 표준 ODE 솔버를 사용하고 있습니까?

— Geoff Oxberry

답변:

현재 접근 방식은 수치 안정성을 떨어 뜨립니다. 사실 당신은 아마 이런 식으로 해상도를 잃을 것입니다.

각 위성의 케플러 변수 및 위성 위치, 속도 및 원점을 포함하는 평면의 각도를 좌표로 사용하십시오. 위성 간의 상호 작용이없는 미분 방정식은 사소하게 단순하며 상호 작용 만 다소 복잡해집니다. 위성이 멀리 있으면 상호 작용이 작기 때문에 그 결과로 나타나는 역학은 수치 적으로 안정적이어야합니다.

— 아놀드 노이 마이어
소스

"고전적인"(딱딱한) ODE 솔버를 사용하는 대신 기하학적 수치 적분에 전용 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 예를 들어 Ernst Hairer 웹 사이트 에서이 책 과 GNI 코드를 참조하십시오 .

— 거트
소스

시뮬레이션에 세 단계가 있다면 어떨까요?

야누스-토성 힘을 계산하여 야누스 위치를 업데이트합니다.
Epimetheus-토성 힘을 계산하여 Epimetheus 위치를 업데이트합니다.
야누스-에피메테우스 힘을 계산하여 야누스와 에피메테우스 위치를 업데이트합니다.

# 3에 더 미세한 타임 스텝을 사용할 수 있습니다.

이것이 도움이 될지 확실하지 않습니다. 실제 문제는 달이 가까이있는 경우를 제외하고 달-달과 달-토성의 경우 힘의 크기가 다르다는 것입니다.

또는

달이 닫히면 질량 중심 벡터를 사용하여 대략적인 달-토성 힘을 계산하고 두 위치를 동일한 벡터로 업데이트하십시오.
멀리 떨어져 있으면 별도로 업데이트하십시오.
이전과.

행운을 빌어 요!