중첩 된 전제 조건에 대한 지침

사전 조정 된 Krylov 방법을 사용하여 선형 시스템을 해결하려는 상황을 고려하지만 사전 조정기 자체를 적용하려면 다른 사전 조정 된 Krylov 방법으로 수행되는 보조 시스템을 해결해야합니다.

• 극단적으로, 내부 해결을 실행하여 외부 해결의 각 단계 내에서 수렴 할 수 있습니다.

• 다른 극단적 인 경우, 내부 해결을 전혀 할 수는 없지만 내부 전제 조건으로 대체하십시오.

• 중앙 어딘가에서 일정 횟수의 반복 또는 특정 공차에 도달 한 후 내부 Krylov 루프를자를 수 있습니다.

경험적으로, 나는 첫 번째 극단이 더 나은 상황과 두 번째 극단이 더 나은 상황 (총 비용 측면에서)을 보았습니다. 그러나 특정 상황이 한 전략을 다른 전략보다 선호하는 명확한 이유는 없습니다.

이러한 다른 전략이 바람직한시기에 대한 지침이나 이론이 있습니까?

이 질문은 오랫동안 열려 있었지만 여전히 대답 할 가치가 있다고 생각합니다.

개별 블록에서 Krylov-space 솔버를 내부 전제 조건으로 사용하는 데 따른 근본적인 문제는 이들이 선형 연산자가 아니라는 것입니다. 이것을 이해하기 위해$\tilde x = K(A,P,\tau,N; b)$ Krylov 공간 방법을 실행하여 솔루션으로 얻는 벡터 $K$ 선형 시스템에서 $Ax=b$ 기껏해야 $N$ 반복 또는 공차까지 $\tau$ 전제 조건을 사용하여 도달 $P\approx A^{-1}$. 다시 말해, 당신은 생각할 수 있습니다$K$ 행동하는 운영자로서 $b$.

이제는 $K(A,P,0,\infty;\cdot)$ 선형 연산자입니다. 해결이 필요합니다 $Ax=b$ 정확히, 즉 $K(A,P,0,\infty;b)=A^{-1}b$선형 인 $b$. 많은 경우에 제로 벡터에서 시작하여 정확히 하나의 반복을 위해 Krylov 공간 방법을 실행하는 것도 선형 연산자입니다.$b$. 그러나 Krylov 벡터의 시퀀스는 시작 잔차에 의존하기 때문에$r^{(0)}=b-Ax^{(0)}$, 연산자 $K(A,P,\tau,N; \cdot)$ 일반적으로 유한에 대한 선형 연산자가 아닙니다. $N$ 과 $\tau$.

이것이 의미하는 것은 사용하면 $K(A,P,\tau,N; \cdot)$ 선형 시스템을위한 전제 조건의 일부로서 $A$ 하나의 블록이면 선형 연산자로 작동하지 않는 전제 조건으로 끝납니다.

예를 들어, 하나의 SSOR 단계는 고정 소수점 반복의 한 단계를 적용하는 다른 모든 방법과 마찬가지로 벡터를 적용하는 벡터에 대한 선형 연산입니다.

이제 근본적인 문제는 대부분의 Krylov 공간 방법에서 사전 조건자가 선형 연산자 여야한다는 것입니다. 전제 조건이 선형이 아닌 경우 단순히 수렴되지 않으며 관찰 내용을 설명합니다. 반면에 일부 Krylov 공간 방법에는 변형이 있으며 일반적으로 "Flexible GMRES"의 F-GMRES와 같이 "Flexible"이라는 단어가 접두사로 사용되며이 문제를 해결하고 선형이 아닌 전제 조건을 처리 할 수 ​​있습니다 연산자. 원래 방법의 이러한 유연한 변형은 여전히 ​​수렴 될 것이며 종종 좋은 (그러나 비선형) 전제 조건과 결합 될 때 강력한 방법입니다.