시간 의존적 PDE를위한 시공간 유한 요소 이산화

FEM 문헌에서, 반-변형 방법은 전형적으로 시간 의존적 PDE의 해결책에 사용된다. FEM에 의해 공간과 시간이 분리되어 구조화되지 않은 시공간 메시를 사용할 수있는 완전 변형 방식을 보지 못했습니다. 타임 스텝핑 방법을 구현하는 것이 더 쉬울 수 있지만 시공간 메시가 실행되지 않는 특별한 이유가 있습니까? 주어진 문제의 물리적 특성을 존중하기 위해 메쉬를 조정해야한다고 생각하지만 확실하지 않습니다.

시간 의존 부분 미분 방정식의 전체 시공간 이산화는 사실입니다. 시간에 구조화 된 메쉬를 사용하는 경우 (시간 이산화가 공간에 의존하지 않는다는 의미에서) 시험 및 테스트 기능을 적절히 선택하면 몇 가지 표준 시간 단계 방법 (Crank-Nicolson, 암시 적 오일러 또는 일부 Runge)을 맞출 수 있습니다 -Kutta 구성표)를 Galerkin 프레임 워크로 변환하여 분석을위한 우아한 접근 방식을 제공합니다. 예를 들어, Thomée의 Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems (Springer, 2nd ed., 2006) 또는 Chrysafinos 및 Walkington의 논문 에 포물선 방정식에 대한 불연속 Galerkin 방법에 대한 오차 추정치 (SIAM J. Numer. Anal. 44.1, 349–366, 2006).

완전히 구조화되지 않은 메시를 사용하는 것은 일반적이지 않지만 특성에 따라 정보를 전송하는 쌍곡선 문제에 적합합니다. 불연속 Galerkin 공식을 사용하는 경우 각 시공간 요소는면 항을 통해 이웃 요소와 만 결합하며 (글로벌 연속성 요구 사항은 없음) 특성을 따라 요소에서 요소로 이동하여 스위핑 프로세스를 사용하여 솔루션을 계산할 수 있습니다. 일종의 "오블 리크"타임 스텝핑. 물론, 이것은 전체 시공간 메쉬를 저장할 필요가 없더라도 (구현 될 수있는) 구현하기가 훨씬 더 어렵다. 반면에, 구조화되지 않은 메시를 사용하면 로컬 (적응) 세분화를 가능하게하여 로컬로 적응 형 타임 스텝핑을 수행 할 수 있습니다.탄성 역학을위한 시공간 유한 요소법 : 공식화 및 오차 추정 , 응용 역학 및 공학에서의 컴퓨터 방법 66 (3) : 339-363, 1988 . 불연속 Galerkin 방법에 대한 시공간 메쉬에 대한 Shripat Thite 의 박사 학위 논문 도 있습니다.

이 아이디어를 본 또 다른 컨텍스트는 포물선 문제에 대한 PDE 제한 최적화에 있습니다. 거기에서 1 차 필요한 최적 조건을 정방향 방정식의 결합 시스템으로 공식화 할 수 있습니다.이 방정식은 2 차 시간, 공간 타원 방정식의 4 차 (최종-최종) 및 경계) 조건. 이 결합 된 시스템의 적응 형 시공간 이산화를 수행함으로써 솔루션을 계산하기위한 효율적인 원샷 접근법을 가질 수 있습니다. 공, 힌지, 저우 : 포물선 최적 제어 문제의 시공간 유한 요소 근사 , J Numer를 참조하십시오. 수학. 20 (2) : 111-145 (2012)에 개시되어있다 .

시공간 법에 대한 최신 논문이 있습니다. 하나있다 슈타인 바흐, 공간 - 시간 유한 요소 와에서 다른 랭거 등이. al, Space-Time Isogeometric Analysis는 모두 포물선 진화 문제를 해결합니다. 두 기사에서, 그들은 다양한 조성을 생생하게 묘사하지만 다른 설정으로 설명합니다. 제목에서 알 수 있듯이 전자는 FEM과 후자의 IgA를 사용합니다. 나는 이것이 당신이 추구하는 것에 대한 좋은 정보를 제공한다고 생각합니다.

논문 Numerical Mathematics, Quatteroni 등 의 두 번째 판의 마지막 장에서 . 또한 , 시공간에 대한 섹션이 있으며 특히$\theta-$계획.

텐서 제품 시공간 구현은 텐서 기반이 아닌 것과 다릅니다. 후자는 특히 FEM에 약간 까다 롭습니다.