쌍곡선 공간에서 점을 샘플링하는 방법은 무엇입니까?

Poincaré 상반신 공간 모델 의 쌍곡선 공간은 일반 $\Bbb R^n$ 처럼 보이지만 각도와 거리 개념이 비교적 간단한 방식으로 왜곡됩니다. 유클리드 공간에서 나는 여러 가지 방법으로 공에서 랜덤 포인트를 균일하게 샘플링 할 수 있습니다. 예를 들어 방향을 얻기 위해 $n$ 독립적 가우시안 샘플을 생성 하여 [ 0 , 1 에서 s 를 균일하게 샘플링 하여 반경 좌표 $r$ 을 별도로 샘플링 할 수 있습니다.$s$$\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$, 여기서$R$은 반경이며$r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ . 쌍곡선 상반신 평면에서 구는 여전히 구가되며 그 중심 만 유클리드 메트릭의 중심이 아니므로 동일한 작업을 수행 할 수 있습니다.

비 균일 분포에 따라 샘플링을 원하지만 가우시안 분포와 같은 등방성 방식으로 샘플링하려는 경우 쉽지 않습니다. 유클리드 공간에서는 각 좌표에 대해 가우시안 샘플을 생성하거나 (가우시안 분포에만 적용) 다차원 가우시안 샘플을 동일하게 생성 할 수 있습니다. 이 샘플을 쌍곡선 공간의 샘플로 변환하는 직접적인 방법이 있습니까?

대안적인 접근법은 먼저 균일하게 분포 된 방향 (예를 들어, $n$ 가우시안 샘플 로부터 )을 생성 한 다음 방사상 성분에 대한 가우시안 샘플을 생성하고 , 지정된 길이에 대해 지정된 방향으로 지수 맵 하에서 이미지를 생성하는 것일 수있다 . 변형은 Euclidean Gaussian 샘플을 취하여 지수 맵 아래에 매핑하는 것입니다.

내 질문 :

• 쌍곡선 공간에서 주어진 평균 및 표준 편차로 가우시안 샘플을 얻는 효율적이고 효과적인 방법은 무엇입니까?
• 위에서 설명한 방법으로 원하는 샘플링을 제공합니까?
• 아무도 이미 공식을 해결 했습니까?
• 이것은 다른 메트릭과 다른 확률 분포로 어떻게 일반화됩니까?

미리 감사드립니다.

편집하다

나는 단지 균일 한 표본 추출의 경우에도이 질문들이 남아 있음을 깨달았다. 구가 구이지만 균일 한 분포는 공의 상수 함수로 설명되지 않습니다.

나는 이것을 위해 이것을하고있는 중입니다. 가우시안에 대한 가장 적절한 아날로그는 쌍곡선 공간의 열 커널이라고 생각합니다. 다행스럽게도 https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf(London Mathematical Society의 게시판 에도 있음) 가 이전에 밝혀졌습니다 .

$e^{-dist^2/constant}$

다음은 원점을 중심으로하는 반경 3의 공에 대한 균일 한 샘플입니다.

원한다면 나는 더 많은 것을 기뻐할 것입니다. 적어도 과거에는 이것에 대한 관심이 분명히 있었기 때문에 이것을 넣을 것이라고 생각했습니다.

상수 pi는 유클리드 공간에서 상수입니다. pi의 값은 다른 형상에서 다릅니다. 매개 변수 pi는 가우시안 하에서 확률 질량을 변경합니다. 매개 변수 pi는 확률을 정규화하는 데 사용됩니다. 나는 이것을 공부하기 시작했습니다.

나는 얼마 전에 시그마의 수가 증가함에 따라 공간이 쌍곡선에서 유클리드로, 구형으로 변한다고 결론을 내렸다. 매개 변수 p를 통해 Lp 공간의 함수로 각 공간 및 pi에 대한 토론을 진행하게되어 기뻤습니다.

$n$