FEM에서 덩어리 질량 매트릭스를 공식화하는 방법

유한 요소법을 사용하여 시간 의존적 PDE를 풀 때 열 방정식과 같이 명시 적 시간 스텝핑을 사용하는 경우 질량 행렬로 인해 선형 시스템을 풀어야합니다. 예를 들어 열 방정식 예를 고수하면

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

앞으로 Euler를 사용하면

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

따라서 명시적인 시간 단계 체계를 사용하더라도 선형 시스템을 여전히 해결해야합니다. 명시 적 체계를 사용하는 주요 이점은 선형 시스템을 해결할 필요가 없기 때문에 이것은 중요한 문제입니다. 이 문제를 해결하는 일반적인 방법은 일반 (일관성있는) 질량 행렬을 대각선 행렬로 변환하여 반전을 간단하게 만드는 "집중"질량 행렬을 대신 사용하는 것입니다. 그러나 Google 검색을 수행 할 때이 덩어리 질량 행렬이 어떻게 생성되는지 여전히 확실하지 않습니다. 예를 들어 그는 AD-DIFFUSION EQUATION을위한 질량 루핑에 대한 수치 실험을 보고있다Edson Wendland Harry와 Edmar Schulz는 모든 계수를 대각선에 간단히 합산하여 덩어리 질량 행렬을 만듭니다. 예를 들어 원래의 일관된 질량 행렬이 다음과 같은 경우

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

덩어리 질량 행렬은 다음과 같습니다.

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

내 질문은 다음과 같습니다 : 이것이 덩어리 질량 행렬을 형성하는 올바른 방법입니까? 정확도 측면에서 일관된 질량 매트릭스 대신 집중 질량 매트릭스를 사용할 때 어떤 단점이 있습니까? 필자가 언급 한 논문의 저자는 실제로 덩어리 질량 행렬을 사용하지 말 것을 제안했지만, 그러한 행렬을 사용하는 주된 이유가 명백한 방법이라는 점을 감안할 때 나는 그것이 내재적 시간 스테핑 체계만을 사용하는 것처럼 보였습니다.

참고 : 열 방정식을 풀기 위해 정방향 오일러를 사용하지는 않습니다. 이는 단지 예일뿐입니다. 또한 내 문제가 중요하다면 비선형 항이 명시 적으로 처리되고 확산 항이 암시 적으로 처리되는 Navier Stokes 방정식을 푸는 것입니다.

감사

finite-element time-integration navier-stokes

— 제임스
소스

O (n^{2})

$O(n^{2})$

예, 직접 솔버를 사용하는 경우에는 가능하지만 PCG 또는 다른 반복 솔버를 사용하는 경우에는 도움이되지 않습니다.

— James

나는 개인적으로 대량 덩어리를 수학적으로 믿지 않습니다. 계산적으로, 명시적인 타임 스텝핑을 목표로하지 않는 한 어떤 이점도 제공하지 않습니다.이 경우 대각선 질량 행렬을 사용하면 훨씬 쉽게 해결할 수 있습니다. 암시 적 시간 스테핑 방법을 사용하는 경우 행렬에서 희소성을 얻지 못합니다. 일관된 행렬을 사용하지 않으면 그 시점에서만 오류가 발생한다고 생각합니다.

— Paul

4 사분면에 대해 Fried and Markus (1975)의 방법을 언급 한 사람이 아무도 없습니다. Lobatto 지점에서 절점 오류를 피하기 위해 노드를 사용합니다. 입체파에 도달 할 때까지는 문제가되지 않지만 세렌디피티 요소는 제외됩니다. 이 아이디어는 삼각형으로 확장되었지만 특별한 기초와 직교가 필요합니다.

— L. Young

나는 이것에 대한 명확한 대답이 있다고 생각하지 않습니다. 왜냐하면 주제마다 다를 수 있기 때문입니다 (또한 사용중인 요소의 유형에 달려 있습니다). 이에 관한 최근의 논문도 있습니다 [2]. 따라서 비공개 토론은 아닙니다. 또한 운동 학적 구속 조건이있는 요소가 보 또는 셸인 경우 다른 기계식 구성 요소를 가질 수 있습니다 (적어도 역학에서는).

Zienkiewicz ([1], 섹션 16.2.4 참조)는 질량 매트릭스를 덩어리로 만드는 세 가지 방법을 설명합니다

${미디엄}_{나는 나는}^{(덩어리)} = \sum_{제이} {미디엄}_{나는 제이}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
${미디엄}_{나는 나는}^{(덩어리)} = 씨 {미디엄}_{나는 나는}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

모든 방법이 모든 경우에 작동하는 것은 아닙니다. 예를 들어, 행 합 방법은 음의 질량으로 이어질 수 있으므로 8 노드 세렌디피티 요소에는 작동하지 않습니다.

$M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

{미디엄}_{나는 나는}^{(덩어리)} = \frac{{미디엄}_{더하다}}{티 아르 자형 (미디엄)} {미디엄}_{나는 나는} (요약 없음 나는) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

또한 Lobatto 노드가있는 소위 스펙트럼 요소 방법 (이 위치를 노드 및 통합 지점으로 사용)과 함께 방법 3을 사용하여 대각선 행렬을 자동으로 생성했습니다.

[1]에서 일부 요소 유형에 대한 일부 방법을 설명하는이 그림을 볼 수 있습니다. 일부 2 차원 유한 요소에 대한 질량 집중

참고 문헌

[1] Zhu, J., ZRL Taylor 및 OC Zienkiewicz. "유한 요소 방법 : 기본과 기본." (2005) : 54-102.

Felippa, Carlos A., Qiong Guo 및 KC Park. "매스 매트릭스 템플릿 : 일반 설명 및 1d 예." 공학 22.1 (2015)의 전산 방법의 아카이브 : 1-65.

— 니코과로
소스