Krylov-accelerated Multigrid (MG를 전제 조건으로 사용)는 어떻게 동기를 부여합니까?

멀티 그리드 (MG)는 초기 추측 을 구성하고 수렴 할 때까지 대해 다음을 반복하여 선형 시스템 를 해결하는 데 사용될 수 있습니다 .$Ax=b$ i = 0 , $x_0$$i=0,1..$

1. 잔차$r_i = b-Ax_i$
2. 멀티 그리드 사이클을 적용하여 근사값 를 . 여기서 입니다.즉 I = R의 $\Delta x_i \approx e_i$$Ae_i = r_i$
3. 업데이트$x_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i$

멀티 그리드주기는 를 생성하기 위해 에 적용되는 스무딩, 보간, 제한 및 정확한 거친 그리드 해석 작업 순서입니다 . 이것은 일반적으로 V 사이클 또는 W 사이클입니다. 이것은 선형 연산이므로 라고 씁니다 . Δ x i Δ x i = B r $r_i$$\Delta x_i$$\Delta x_i = B r_i$

이 프로세스를 사전 설정 Richardson 반복으로 해석 할 수 있습니다. 즉, 합니다.$x_{i+1} \gets x_i + B r_i$

Richardson 반복은 프로토 타입 Krylov 부분 공간 방법으로, 다른 Krylov 부분 공간 방법을 사전 조건화하기 위해 멀티 그리드주기를 사용하도록 제안합니다. 이를 Krylov 방법을 사용하여 "가속화"멀티 그리드라고도하거나 Krylov 방법의 전제 조건을 선택할 수 있습니다.

위의 알고리즘을 확장하는 또 다른 방법은 FMG (Full Multigrid)를 사용하는 것입니다. 간결한 설명 은 이 답변 을 참조하십시오 .

Krylov 가속 MG는 어떤 상황에서 MG 또는 FMG보다 선호됩니까?

경우에 따라 (F) MG는 최적의 속성을 가진 알고리즘을 제공합니다. 예를 들어, 적절히 조정 된 FMG는 소수의 "작업 단위"에서 일부 타원 문제를 해결할 수 있습니다. 여기서 작업 단위는 문제 자체를 표현하는 데 필요한 계산 노력으로 정의됩니다 (이 경우 잔차 가장 좋은 그리드의 . 이것은 효율적인 (따라서 비트하기 어려운) 알고리즘으로, 실제 물리 문제 ( HPGMG ) 를 해결하기 위해 슈퍼 컴퓨터의 최대 용량을 측정하도록 설계된 HPC 벤치 마크의 기초입니다 . 그러한 방법을 사용할 수 있다면 물론 사용하는 것이 좋습니다.$b-Ax$

그러나 많은 실제 경우에 최적 또는 효과적인 멀티 그리드 방법이 사용되지 않습니다. 그 이유는

• 주어진 방법에 대해 그러한 방법을 알 수 없거나 이용할 수없는 경우
• 스무더와 인터 그리드 연산자는 교과서 통합을 제공하기에 충분하지 않습니다.
• 거친 그리드 솔버가 정확하지 않습니다

이러한 경우, 멀티 그리드 사이클 에서처럼 감소되지 않는 오류에 의해 솔루션이 저하 될 수 있습니다. 그러나이 오류가 저 차원 부분 공간에 포함되어있는 경우 Krylov 방법을 사용하면 적은 횟수의 반복으로이 오류를 해결할 수 있으므로 불완전한 멀티 그리드 해결 후 "정리"할 수 있습니다. 즉, 에 몇 가지 고유 한 고유 값이있는 경우 Krylov 방법은 해당 고유 공간을 캡처 할 수 있어야합니다.$BA$

차선의 방법을 선택하면 Krylov 가속이 유리할 정도로 훨씬 "더 싼"멀티 그리드주기가 발생할 수 있습니다. 즉, Krylov 가속 MG가 MG를 능가 할 수있는 문제 (및 컴퓨팅 시스템)가있을 수 있습니다. 이에 대한 구체적인 예를 찾는 데 관심이 있습니다.

(위의 @chris와 튜토리얼에서 위의 일부를 언급 한 Matt Knepley 에게 감사합니다 )