수치 분석에서 Nitsche의 방법에 대한 일반적인 아이디어는 무엇입니까?

Nitsche의 방법은 Lagrange multipliers를 사용하지 않고 Dirichlet 유형 경계 조건을 고려하거나 약한 방식으로 마찰 경계 조건과의 접촉을 고려할 수 있기 때문에 매우 매력적인 방법이라는 것을 알고 있습니다. 그리고 Dirichlet 경계 조건을 Neumann 경계 조건과 유사하게 약한 용어로 변환하는 이점은 구현이 모델 종속적이라는 사실에 의해 결정됩니다.

그러나 그것은 나에게 너무 일반적인 것 같습니다. 이 방법에 대해 좀 더 구체적으로 설명해 주시겠습니까? 간단한 예를들 수 있습니다.

— 안티 DINH
소스

나는 당신의 질문을 잘 이해하지 못한다고 생각합니다. 방법이 발명 된 이유를 정확하게 식별합니다 (약한 형태로 Dirichlet 조건을 처리하기 위해). "그러나 그것은 나에게 너무 일반적인 것 같습니다.이 방법에 대해 좀 더 구체적인 아이디어를 줄 수 있습니까? 간단한 예는 비용이 많이 듭니다."?

— Wolfgang Bangerth 2016 년

@WolfgangBangerth :이 아이디어에 대한 간단한 예제가 필요합니다. 나에게는 너무 추상적입니다.

— Anh-Thi DINH

@Oliver : "귀중한", "귀중한", "감사 한"과 같이 "비용이 많이 드는"것을 의미한다고 가정합니다. 나는 단어를 바꿀 자유를 얻었습니다. 동의하지 않으면 편집을 롤백하십시오.

— Christian Clason 2016 년

Nitsche의 방법은 불연속 Galerkin 방법과 관련이 있으며 (실제로 Wolfgang이 지적한 것처럼 이러한 방법의 전 조임) 유사한 방식으로 파생 될 수 있습니다. 가장 간단한 문제, 포아송 방정식을 생각해 봅시다 : 우리는 지금 변형 공식을 찾고 있습니다

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} - Δ u & = f on Ω, \\ u & = g on \partial Ω . \end{aligned} \end{matrix}

$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$

(약한) 솔루션 의해 만족 됨 (즉, 일관됨) $u\in H^1(\Omega)$
와 에서 대칭입니다 . $u$ $v$
독특한 솔루션을 인정합니다 (이것은 쌍 선형이 강제적이라는 것을 의미합니다).

우리는 평소와 같이 강력한 형태의 미분 방정식을 취하고 테스트 함수 곱하고 부품으로 통합하여 시작합니다. 오른쪽부터 시작하여 $v\in H^1(\Omega)$ 마지막 등식에서는 생산적 제로 추가 여기서의 경계에있다. 별도의 선형 및 선형 형태의 조건을 정리하면 현재 솔루션 만족 대칭 쌍 선형 형식하는 변분 방정식 제공의.

\begin{aligned} (f, v) = (- Δ u, v) & = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s \\ = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} (u - g) \partial_{ν} v d s \end{aligned}

$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$

0 = u - g

$0=u-g$

u \in H^{1} (Ω)

$u\in H^1(\Omega)$

(1)

$(1)$

그러나 이중 선형은 강제적이지 않습니다. 왜냐하면 에 대해 로 묶을 수 없기 때문에 (임의의 대한 경계 조건 이 없으므로 사용할 수 없습니다. 평소와 같이 Poincaré의 불평등-이것은 우리가 이중 선형 형태를 바꾸지 않고 표준의 부분을 임의로 크게 만들 수 있음을 의미 합니다). 따라서 우리는 진정한 해를 위해 사라지는 또 다른 (대칭) 항을 추가해야합니다 : $u=v$ $c\|v\|_{H^1}^2$ $v\in H^1(\Omega)$ $L^2$ 일부 대해 가충분히 큽니다. 제 (대칭 일관 보자력) 약함 제형이 리드 : 찾기 이되도록 $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$ $\eta>0$ $u\in H^1(\Omega)$

(\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} u \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} u v d s = - \int_{\partial Ω} g \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} g v d s + \int_{Ω} f v d x for all v \in H^{1} (Ω) .

$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$

$u, v \in H^{1} (Ω)$ 대신에 $u, v \in H^{1} (Ω)$ $u, v \in H^{1} (Ω)$ $u,v\in H^1(\Omega)$ 이산 근사 $u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$ 일반적인 Galerkin 근사값을 얻습니다. 경계 조건으로 인해 부적합하기 때문에 ( 연속 솔루션을 찾던 것보다 큰 공간에서 이산 솔루션을 찾고 있음 ), 이산 문제의 올바른 위치를 추정 할 수 없습니다. 지속적인 문제. Nitsche는 이제 $\eta$ 로 선택 $ch^{-1}$ ...에 대한 $c>0$ 충분히 큰 경우, 불연속 문제는 실제로 (적합한 메쉬 의존 표준과 관련하여) 안정적입니다.

(이것은 불연속 Galerkin 방법보다 오래되고 동등한 최소화 문제에서 시작되는 Nitsche의 원래 파생물이 아닙니다. 실제로 그의 원본 논문 은 해당 이중선 형태를 전혀 언급하지 않지만 Freund 및 Stenberg, 2 차 문제의 경계 조건이 약하게 부과 된 경우 , 유체의 제 9 차 유한 유한 요소의 절차, 베니스 1995. M. Morandi Cecchi et al., Eds. pp. 327-336 .)

— 크리스찬 클라 슨
소스

Your first sentence is not wrong, but historically inaccurate: Nitsche's idea came first and inspired the development of discontinuous Galerkin methods. That said, this doesn't take away from the otherwise excellent answer.

— Wolfgang Bangerth

@WolfgangBangerth You are of course correct; no causality was implied, only correlation. But it is important to give proper attribution, especially to people who otherwise get short-shifted. I'll edit to make that clear.

— Christian Clason

Questions: 1. Could you elaborate more on the coercivity issue prior to adding the additional boundary term? 2. What does "non-conforming" here mean? 3. I thought I read that stability is an automatic result of coercivity of the bilinear form..? Though this explanation is quite good (the only explanation I've been able to find in fact), can anyone link to another overall explanation of the method (and/or its derivation) just for comparison? Even if I could locate the original paper, not sure it would be much help. The Freund and Stenberg paper only gives a short synopsis and a couple specific

— Nights

Nonconformity: the discrete solution space

V_{h}

$V_h$ is not a subspace of the continuous solution space

H_{g}^{1} (Ω)

$H_g^1(\Omega)$ -디리클레 경계 조건은 약한 의미에서만 시행되기 때문입니다. 다음은 잠재적으로 유용한 링크 입니다.

— GoHokies

@Nights 나는 당신의 요점을 해결하기 위해 답을 편집했습니다 (두 번째 단락의 것을 제외하고는 분명히).

— Christian Clason