양자 역학의 법칙은 시뮬레이션에서 어디서 나옵니까?

물리학 학사 학위를 취득한 사람으로서 분자 시뮬레이션 작업을 시작했을 때 다소 스캔들되었습니다. 가장 상세하고 계산적으로 비싼 시뮬레이션조차도 첫 번째 원리에서 물의 전체 동작을 정량적으로 재현 할 수 없다는 것을 발견 한 것은 충격적이었습니다.

이전에는 양자 역학의 기본 법칙이 중력을 제외하고는 일반적으로 분자 규모와 관련이 없다고 여겨지는 문제라고 생각했습니다. 그러나 일단 이러한 법칙을 확장하여 수소 원자보다 더 크거나 복잡한 것에 적용하려고하면 예측력이 떨어지기 시작합니다.

수학의 관점에서, 나는 파동 함수가 풀기에는 너무 복잡 해져서 파동 함수를 다루기 쉽게하기 위해 Born-Oppenheimer와 같은 근사가 필요하다는 것을 이해합니다. 또한 이러한 근사치에는 연구중인 시스템의 시간과 공간 규모가 증가함에 따라 점점 더 많은 오류가 발생한다는 것을 알고 있습니다.

이러한 근사 오차 중 가장 크고 가장 중요한 특성은 무엇입니까? 이러한 오류를 직관적으로 이해하려면 어떻게해야합니까? 가장 중요한 것은 어떻게 전체 분자와 분자 집단을 정확하게 시뮬레이션 할 수있는 ab-initio 방법으로 나아가는가? 사람들이 이러한 종류의 시뮬레이션을 개발하지 못하게하는 가장 큰 미해결 문제는 무엇입니까?

$O(^{n_{orbs}}C_{n_e})$.) "walkers"와 결정자 네트워크를 사용하여 관련 Monte-Carlo 방법 및 방법을 기반으로하는 방법은 결과를 더 빠르게 제공 할 수 있지만 위에서 암시 된 것처럼 변하지 않습니다. 그리고 여전히 엄청나게 비싸다.

현재 2 개 이상의 원자에 대한 에너지만을 위해 실제로 사용되는 근사치는 다음과 같습니다.

• 당신이 말한 것처럼, Oppenheimer에서 태어났다 : 당신의 시스템이 수소 원자 터널링을 포함하지 않는 한, 또는 당신이 교차하거나 피할 수없는 상태의 교차점에 있지 않는 한 거의 문제가되지 않습니다. 개념적으로 CPMD를 포함하여 파동 / 밀도에 대한 비 단열 방법이 있으며 핵 터널링 효과를 설명 할 수있는 Path-Integral MD도 있습니다.
• 비상 대성 계산 및 Dirac 방정식에 대한 2 성분 근사치 : Dirac 방정식의 정확한 2 성분 공식을 얻을 수 있지만 실제로는 0 차 정기 근사치 (Lenthe et al, JChemPhys, 1993 참조) 또는 Douglas- Kroll-Hess Hamiltonian (Reiher, ComputMolSci, 2012 참조)이 일반적으로 사용되며 스핀-오빗 커플 링을 무시하는 경우가 많습니다.
• 기본 세트 및 LCAO : 기본 세트는 완벽하지는 않지만 항상 더 완벽하게 만들 수 있습니다.
• DFT 기능은 아래의 고급 방법의 계산 비용없이 교환 및 상관 관계에서 충분한 시도를 제공하려고 시도하는 경향이 있습니다. (그리고 몇 가지 다른 수준의 근사치가 나옵니다. LDA는 엔트리 레벨의 GGA, metaGGA이며 정확한 교환을 포함하여 그보다 더 많이 진행되며 RPA를 포함하면 여전히 매우 비싸고 새로운 기술입니다. 알고 있습니다. 분리의 함수로 다른 기술을 사용하는 기능도 있고 일부는 자기 또는 방향족 연구에 적용 할 것으로 생각되는 소용돌이를 사용합니다.) (B3LYP, 일부 사람들이 좋아하고 일부 사람들이 싫어하는 기능, 정확한 교환 비율을 포함하는 GGA입니다.)
• 구성 상호 작용 잘림 : CIS, CISD, CISDT, CISD (T), CASSCF, RASSCF 등 CI에 대한 모든 근사값은 가장 중요한 여기 결정 요인이 가장 덜 기대되는 것으로 가정합니다.
• 다중 참조 구성 상호 작용 (잘림) : 시작이지만 몇 가지 다른 시작 참조 상태가 있습니다.
• $E(H_2) \times 2 = E((H_2)_2$

역학의 경우, 많은 근사값은 다루기 쉬운 시스템의 제한된 크기 및 실제 시간 단계 선택과 같은 것을 의미합니다. 숫자 시간 시뮬레이션 필드의 표준 항목입니다. 온도 유지 보수도 있습니다 (Nose-Hoover 또는 Langevin 온도 조절기 참조). 그러나 이것은 내가 이해하는 대부분의 통계 역학 문제입니다.

어쨌든 물리학을 염두에 둔다면 이러한 방법에 대한 공식과 논문을 보면 무시되는 것에 대해 꽤 좋은 느낌을 얻을 수 있습니다. 가장 일반적으로 사용되는 방법에는 원래 사양이 아닌 하나 이상의 용지가 있습니다. 그들의 구성과 그 내용을 설명합니다. 또는 사용하는 사람들과 대화 할 수 있습니다. DFT를 사용하여 주기적 시스템을 연구하는 사람들은 항상 다른 기능이 포함하고 포함하지 않는 기능에 대해 고민하고 있습니다. 가장 어려운 문제는 전자 상관을 적절히 처리하는 것으로 보이며, 그것을 설명하지 않는 Hartree-Fock 방법 이상은 그것을 포함하려는 시도입니다.

알다시피, 완전한 기본 세트를 갖춘 완전 상대 론적 CI의 정확성에 도달 하는 것은 현재 우리가 사용하는 알고리즘을 극적으로 재발 명하거나 포기하지 않으면 결코 저렴 하지 않을 것 입니다. (그리고 DFT가 모든 것에 대한 해결책이라고 말하는 사람들을 위해, 나는 당신의 순수한 밀도의 무궤도가없는 공식을 기다리고 있습니다.)

더 많은 기여와 더 복잡한 공식을 포함하여 시뮬레이션을보다 정확하게할수록 실제로 어떤 일을하기가 더 어렵다는 문제도 있습니다. 예를 들어, 스핀 궤도 커플 링은 모든 것을 분석하기가 더 복잡하기 때문에 (때로는 무시할 수있는 효과가 있기 때문에) 때로는 피할 수 있으며 표준 Hartree-Fock 또는 Kohn-Sham 궤도는 정 성적 특성을 이해하는 데 매우 유용 할 수 있습니다. 고급 방법의 추가 출력에 계층화되지 않은 시스템.

(이 중 일부가 의미가 있기를 바랍니다. 아마도 약간의 얼룩이있을 수 있습니다. 그리고 아마도 누군가가 가장 좋아하는 근사치 나 잔소리를 놓친 것 같습니다.)

$O(N_e^{3.7})$$N_e$$N_e = 104$$N = 39$

가장 큰 문제는 계산 능력이 향상 될뿐만 아니라 3.7 지수를보다 관리하기 쉬운 것으로 줄일 수있는 더 나은 알고리즘이 필요하다는 것입니다.

이 문제는 기존 컴퓨터와 양자 컴퓨터의 차이점과 대체로 동일합니다. 하나의 결정적 입력에 대해 하나의 미래 / 역사 만 가능하기 때문에 클래식 컴퓨터는 한 번에 단일 값으로 작동합니다. 그러나, 양자 컴퓨터는 가능한 모든 상태의 중첩에 놓일 수 있기 때문에 가능한 모든 입력에서 동시에 작동 할 수 있습니다.

같은 방식으로 고전적인 컴퓨터는 모든 속성을 개별적으로 계산해야하지만 시뮬레이션하는 양자 시스템에는 모든 속성을 동시에 계산하는 우주 법칙이 있습니다.

CPU 또는 거의 수천 개의 CPU를 통해 데이터를 직렬로 전달해야하는 방식으로 문제가 더욱 악화됩니다. 반대로, 우주에는 거의 동시에 무제한으로 동시에 계산이 진행됩니다.

상자 안에 전자 3 개를 예로 들어 보겠습니다. 컴퓨터는 제한된 수의 CPU를 통해 시간 간격 (첫 번째 근사)을 선택하고 각 전자와 서로 전자의 상호 작용을 계속 재 계산해야합니다. 실제로, 전자는 통과 할 수없는 실제 및 가상 교환 입자의 수를 연속 공정으로서 흡수 및 방출한다. 우주의 모든 입자와 지점에는 약간의 상호 작용이 진행되므로 시뮬레이션하려면 컴퓨터가 필요합니다.

시뮬레이션은 실제로 사용 가능한 리소스를 사용하여 주제를 모델링하기 위해 근사치와 알고리즘을 선택하는 기술입니다. 완벽을 원한다면 진공 상태의 구형 닭의 수학이 두렵습니다. 아주 간단한 것만 완벽하게 시뮬레이션 할 수 있습니다.

다음이 도움이되는지 모르겠지만, 양자 시스템의 스케일링 동작을 시각화하는 것은 매우 통찰력이 있습니다.

주요 문제는 양자 상태의 힐버트 공간이 입자의 수에 따라 기하 급수적으로 증가한다는 사실에서 비롯됩니다. 이것은 별개의 시스템에서 매우 쉽게 볼 수 있습니다. 서로 연결되어있는 두 개의 잠재적 우물을 생각해보십시오. 우물 1과 우물 2입니다. 이제 먼저 하나의 보손 (예 : Rubidium 87)을 추가하십시오. 몇 개의 가능한 기본 벡터가 있습니까?

• 기본 벡터 1 : 1의 보손
• 기초 벡터 2 : 우물의 보손 2

$\left|1,0 \right\rangle$$\left|0,1 \right\rangle$

이제 boson이 한 우물에서 다른 우물로 뛰어 다닐 수 있다고 가정하십시오. 시스템을 기술 할 수있는 해밀턴은 다음과 같이 행렬 표기법을 사용합니다.

$\epsilon_{1,2}$$\left|1,0 \right\rangle$$\left|0,1 \right\rangle$

이 문제는 너무 간단해서 손으로 해결할 수 있습니다.

이제 우리가 더 많은 잠재적 인 우물과 더 많은 보손을 가지고 있다고 가정하십시오. 그러면 Hamiltonian은 10x10 = 100 개의 요소와 10 개의 고유 상태를 갖게됩니다.

$92,378^2$

$2.7 \cdot 10^{53}$$10^{107}$ 많은 공간을 차지하기 때문에 정보를 인코딩하기 위해 천만 우주에서 온 모든 입자가 필요합니다.

$n$$3n$

$\text{points}^{-\frac{1}{2}}$

밀도 기능 이론은이 문제를 다루는 또 다른 방법이지만 근사치입니다. 어떤 경우에는 매우 근사치이지만 다른 경우에는 놀라 울 정도로 나쁠 수 있습니다.

물에 대한 정확한 시뮬레이션은 Jaguar 슈퍼 컴퓨터를 사용하여 수행 된 최초의 대규모 시뮬레이션 중 하나의 주제라고 생각합니다 . 이 백서와 후속 작업 ( 2009 년 Gordon-Bell 상 최종 후보)을 살펴볼 수 있습니다 .

"액체 물 : 올바른 이유에 대한 정답 얻기" , Aprà, Rendell, Harrison, Tipparaju, deJong, Xantheas.

이 문제는 Density Functinal Theory에 의해 해결됩니다. 본질은 많은 신체 자유도를 여러 분야로 대체하여 그중 하나가 전자 밀도가됩니다. 대박 박람회는 DFT 창립자 중 한 사람의 노벨 강의를 참조하십시오 : http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1998/kohn-lecture.pdf