참조 사각형의 라비 아트 토마스 요소

Raviart-Thomas (RT) 요소의 작동 방식을 배우고 싶습니다. 이를 위해 기본 함수가 기준 사각형에서 어떻게 보이는지 분석적으로 설명하고 싶습니다. 여기서 목표는 직접 구현하는 것이 아니라 요소를 직관적으로 이해하는 것입니다.

나는 여기 에서 논의 된 삼각형 요소들에 근거하여이 작업을 주로하고 있다 . 아마도 그것을 사변형으로 확장하는 것은 그 자체가 실수 일 것이다.

즉, 첫 번째 RK 요소 RK0의 기본 함수를 정의 할 수 있습니다.

에 대한

ϕ_{i} (x) = a + b x = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x \\ a_{2} + b_{2} y \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$

i = 1, \dots, 4.

$i = 1,\dots,4.$

의 조건 은 다음과 같습니다. $\mathbf{\phi}_i$

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

여기서 정상 아래에 도시 된 유닛이고, 그 좌표이다. $\mathbf{n}_j$ $\mathbf{x}_j$

RT0

이 기준 정사각형 각 기저 함수에 대한 식의 시스템에 따라서이 리드. 들어 이다 : $[-1,1]\times[1,1]$ $\mathbf{\phi}_1$

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

그것은 해결하기 위해 해결할 수 있습니다 :

ϕ_{1} (엑스) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + 엑스 \\ 0 \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$

다른 기본 기능도 비슷하게 찾을 수 있습니다.

이것이 올바른 것으로 가정하면 다음 단계는 RK1의 기본 기능을 찾는 것입니다. 내가 조금 확신이없는 곳이다. 위의 링크에 따르면 우리가 관심있는 공간은 다음과 같습니다.

피_{1} (케이) + 엑스 피_{1} (케이)

$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$

위한 기초 것 $P_1$ $\{ 1, x, y\}$

이것은 RK1 기본 기능이 다음과 같은 형식을 취해야 함을 의미한다고 생각합니다.

ϕ_{나는} (엑스) = (\begin{matrix} ㅏ_{1} + 비_{1} 엑스 + 씨_{1} 와이 + 디_{1} {엑스}^{2} + {이자형}_{1} 엑스 와이 \\ ㅏ_{2} + 비_{2} 엑스 + 씨_{2} 와이 + 디_{2} 엑스 와이 + {이자형}_{2} {와이}^{2} \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$

이것은 각 기본 기능에 대해 10 개의 미지수를 남깁니다. RK0 사례와 동일한 조건을 적용하면 다음과 같습니다.

, 여기서 는 아래와 같이 단위 법선입니다.

ϕ_{나는} ({엑스}_{제이}) \cdot 엔_{제이} = δ_{나는 제이}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

n_{j}

$\mathbf{n}_j$

RK1

이것은 우리에게 8 가지 방정식을줍니다. 내가 생각하는 다른 2는 어느 순간부터 찾을 수 있습니다. 나는 정확히 얼마나 확실하지 않다. 위의 링크는 에 대한 기초와의 통합에 대해 이야기 하지만 그 의미를 알아내는 데 어려움을 겪고 있습니다. 내가 올바른 길을 가고 있습니까, 아니면 여기서 뭔가를 놓친 적이 있습니까? $[P_1]^2$

pde finite-element

— 루카스 비스트 리키
소스

일반적으로 동일한 다항식 기초를 사면체에서 사변형 요소로 옮길 수는 없습니다. ^{도 1은} 특히 사변형 요소의 요점 사면체 요소 불가능 일차원 다항식 텐서 제품에서 작동하도록한다.

실제로 사변형 Raviart-Thomas 요소가 있지만 그 정의는 다릅니다. 두 차원에서, 다항식 공간 주어진다 $RT_k$

피_{케이 + 1, 케이} \times 피_{케이, 케이 + 1},

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$

대한 일반적인 다항식은작성한 것과 같지만

경우

피_{케이, 엘} = {\sum_{나는 = 0}^{케이} \sum_{제이 = 0}^{엘} ㅏ_{나는 제이} {엑스}^{나는} {와이}^{제이} : ㅏ_{나는 제이} \in 아르 자형} .

$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$

k = 0

$k=0$

k = 1

$k=1$

따라서,

이고, 일반적으로

입니다. 즉, 요소의 내부에 두 개의 자유도가 추가로 필요합니다. (일반적으로,에 대한

는 받아

각면에 법선 유도체 내부로부터 자유 나머지도).

(\begin{matrix} ㅏ_{1} + 비_{1} 엑스 + 씨_{1} {엑스}^{2} + 디_{1} 와이 + {이자형}_{1} 엑스 와이 + {에프}_{2} {엑스}^{2} 와이 \\ ㅏ_{2} + 비_{2} 와이 + 씨_{2} {와이}^{2} + 디_{2} 엑스 + {이자형}_{2} 엑스 와이 + {에프}_{2} 엑스 {와이}^{2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$

\dim R T_{1} = 12

$\dim RT_1 = 12$

\dim R T_{k} = 2 (k + 1) (k + 2)

$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$

R T_{k}

$RT_k$

k + 1

$k+1$

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ϕ_{나는} (엑스, 와이) 큐_{제이} (엑스, 와이) 디 엑스 디 엑스 = δ_{나는 제이},

$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$

{q_{j}}

$\{q_j\}$

P_{k - 1, k} \times P_{k, k - 1}

$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$

{1, x, y}

$\{1,x,y\}$

k = 1

$k=1$

\int_{{이자형}_{미디엄}} ϕ_{나는} (에스)^{티} ν_{{이자형}_{미디엄}} 큐_{미디엄, 제이} (에스) 디 에스,

$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$

e_{m}

$e_m$

ν_{e_{m}}

$\nu_{e_m}$

m

$m$

q_{m, j}

$q_{m,j}$

P_{k} (e_{m})

$P_k(e_m)$

{1, x}

$\{1,x\}$

{1, y}

$\{1,y\}$

k = 1

$k=1$

$H(div)$

_{$k$ $k$ $k$ $k$ $x^2y$ $3$ $2$}

— 크리스찬 클라 슨
소스

답변 해 주셔서 감사합니다. 분명히 많은 노력을 기울였습니다. 나는 그것이 나의 많은 오해를 해결한다고 생각한다.

— Lukas Bystricky

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

k = 0

$k=0$

\frac{1}{4} ⟨ 1 + x, 0 ⟩^{T}

$\frac{1}{4}\langle 1+x, 0\rangle^T$

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

y

$y$

도움이되었다 니 다행입니다. 귀하의 질문은 흥미롭고 많은 노력을 기울였습니다. 간결한 지원은 다항식이 참조 요소에만 정의되어 있다는 사실에서 비롯됩니다. Raviart-Thomas는 H (div) 준수 요소이므로 전역 유한 요소 공간 의 함수 가 연속적 일 필요는 없습니다.

— Christian Clason

실제로, 이는 내부 자유도에 연결된 기본 함수에 대해서만 적용됩니다. 가장자리 자유도에 연결된 (전역) 기본 함수는 가장자리로 연결된 두 요소 만 지원합니다. 다른 모든 요소에서는 0으로 설정됩니다.

— Christian Clason

실제로 실제로는 모서리 요소의 경우 다항식 자체가 아닌 일반 추적 만 연속적이어야하므로 서포트를 확장하지 않고 자동으로 처리해야합니다. 전 세계 Raviart-Thomas 공간 에 대한 자세한 내용이 필요 하면 질문을 확장하고 제 답변을 확장 해 드리겠습니다.

— Christian Clason