유한 요소 분석에서 테스트 기능의 목적은 무엇입니까?

파동 방정식에서 :

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

통합하기 전에 먼저 테스트 함수 $v(x,t)$ 를 곱하는 이유는 무엇 입니까?

finite-element

— 앤디
소스

짧은 대답 : 유한 요소 방법은 강력한 공식이 아닌 약한 공식의 분리입니다. 중간 답 : 방정식이 만족되는 유한 차원 함수를 찾을 수 없기 때문에; 기껏해야 잔차가 유한 차원 솔루션 공간에 직교하거나 해당 공간의 모든 요소 (정확히 테스트 기능)에 직교하는 것을 기대할 수 있습니다. 부품 통합은 중요하지 않으며 귀하의 경우 대칭성을 위해 중요합니다. 답변이 너무 깁니다 :)

— Christian Clason

또 다른 간단한 설명 : 단지 통합하고 0으로 설정 하면 찾고자하는 것이 아니라 사라질 평균 을 요구 하는 것입니다. 왜냐하면 잔류는 도메인의 한 부분에서 매우 클 수 있기 때문입니다. 다른 곳에는 반대 부호가 있습니다. 본질적으로 테스트 기능은 각 요소의 잔차를 "현지화"합니다.

— Christian Clason

대안적인 설명은 다음 답변을 참조하십시오 : scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

— Paul

답변:

당신은 거꾸로오고 있습니다. 변이 설정에서 시작하여 강력한 형식으로 작업하면 정당성이 더 잘 보입니다. 이 작업을 완료하면 테스트 기능을 곱하고 통합하는 개념을 최소화 문제로 시작하지 않는 문제에 적용 할 수 있습니다.

따라서 우리가 최소화하려는 문제를 고려하십시오 (그리고 공식적으로 그리고 엄격하게 작동하지는 않습니다).

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

일부 경계 조건에 따라 달라질 수 있습니다 . 이것을 가 최소에 도달하기를 원한다면 , 와 관련하여이를 구별해야 합니다. 이것은 함수입니다. 이러한 종류의 파생물을 고려하는 몇 가지 올바른 방법이 있지만, 도입 된 한 가지 방법은 계산하는 것입니다. $\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

여기서 는 스칼라 일뿐입니다. 이것은 스칼라 변수의 스칼라 함수에 대한 파생 함수의 기존 정의와 유사하지만 스칼라를 되돌려 주지만 함수에 대한 도메인을 갖는 와 같은 함수로 확장 되었음을 알 수 있습니다. $h$ $I$

대해 이것을 계산하면 (주로 체인 규칙을 사용하여) $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

최소값을 찾기 위해 이것을 0으로 설정하면 Laplace의 방정식에 대한 약한 진술과 같은 방정식이 나타납니다.

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

우리가 발산 Theorm (부품으로 일명 멀티 dimesional 통합)를 사용하는 경우 이제, 우리의 파생 벗을 수있는 과에 넣어 하려면 $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

이제 이것은 부분 미분 방정식에서 약한 진술을 만들려고 할 때 시작하는 곳입니다. 이제이 아이디어가 주어지면 테스트 기능을 곱하고 통합하고 발산 정리를 적용 한 다음 이산을 적용하여 모든 PDE에 사용할 수 있습니다.

— 빌 바스
소스

가중 잔차를 최소화하는 관점에서 설명하고 싶습니다.

— nicoguaro

@nicoguaro, 그럼 당신은 그 대답을 쓸 수 있고, 우리는 어느 것이 OP에 더 적합한지를 볼 것입니다. :)

— Bill Barth

약한 형태가 실제로는 (또는 적어도 종종) 강한 형태보다 더 자연 스럽다는 것을 지적한 +1 .

— Christian Clason

흥미 롭군 탄젠트 종류이지만 "이런 종류의 파생물을 고려할 수있는 몇 가지 방법이 있습니다" : 내가 배운 유일한 방법은 여러분이 언급 한 방법입니다. 다른 어떤 종류가 있습니까?

— user541686

h

$h$

앞에서 언급했듯이 약한 형태는 가중 잔차로 생각합니다.

$\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

$R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

$w$ $\hat{u}$

첫 번째 경우를 선택하면 @BillBarth에서 설명한 것과 같은 방정식이 나타납니다.

— 니코과로
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