이상한 결과를 가진 3 차 대 4 차 대칭 적분기의 테스트

에서 내 대답 A와 MSE에 대한 질문 2 차원 해밀턴 물리 시뮬레이션에 대하여, 나는 고차원 사용하여 제안 사교 통합을 .

그런 다음 순서가 다른 메소드의 전역 정확도에 대해 다른 시간 단계의 효과를 보여주는 것이 좋을 것이라고 생각하고 그 효과를 위해 Python / Pylab 스크립트를 작성하고 실행했습니다. 비교를 위해 나는 선택했다 :

• ( leap2 ) leapfrog 라는 이름으로 알고 있지만 Wikipedia의 친숙한 2 차 예제 ,
• ( ruth3 ) 루스의 3 차 증상 적분기 ,
• ( ruth4 ) 룻의 4 차 상징적 통합 자 .

이상한 점은 내가 선택한 시간 단계에 관계없이 루스의 3 차 방법은 루스의 4 차 방법보다 훨씬 더 정확하다는 것입니다.

따라서 내 질문은 : 내가 여기서 뭘 잘못하고 있니? 자세한 내용은 아래를 참조하십시오.

이 방법은 분리 가능한 Hamiltonian, 즉

$$H(q,p) = T(p) + V(q)$$ 로 쓸 수있는 시스템에서 강도를 펼칩니다. 여기서 $q$ 는 모든 위치 좌표를 포함하고 , $p$ 는 공액 모멘트를 포함하고, $T$ 는 동역학을 나타냅니다 에너지 및 $V$ 잠재적 에너지.

우리의 셋업에서, 우리는 그것들에 적용되는 질량에 의해 힘과 모멘트를 정규화 할 수 있습니다. 따라서 힘은 가속으로 바뀌고 모멘트는 속도로 바뀝니다.

증상 적분기에는 특별한 (주어진, 일정한) 계수가 붙어 있는데, 이것은 $a_1,\ldots,a_n$ 및 $b_1,\ldots,b_n$ 됩니다. 이러한 계수를 사용하여 시간 $t$ 에서 시간 $t+\delta t$ 로 시스템을 진화시키는 한 단계 는 다음과 같은 형식을 취합니다.

• 들어 $i=1,\ldots,n$ :

  1. 모든 위치의 벡터 q 가 주어지면 모든 가속도의 벡터 $g$ 계산$q$
  2. 모든 속도의 벡터 $v$ 를 $b_i\,g\,\delta t$
  3. 변경 벡터 $q$ 모든 위치의 전$a_i\,v\,\delta t$

지혜는 이제 계수에 있습니다. 이것들은

$$\begin{align} \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} &&\textsf{(leap2)} \\ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & 1 \\ \frac{7}{24} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{24} \end{bmatrix} &&\textsf{(ruth3)} \\ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \end{bmatrix} &= \frac{1}{2-\sqrt[3]{2}} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1-\sqrt[3]{2}}{2} & \frac{1-\sqrt[3]{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\sqrt[3]{2} & 1 \end{bmatrix} &&\textsf{(ruth4)} \end{align}$$

테스트를 위해 1D 초기 값 문제

$$\begin{align} y''+y &= 0 & y(0) &= 1 & y'(0) &= 0 \end{align}$$ $$\therefore\quad \left(y(t),y'(t)\right) = (\cos t, -\sin t)$$ 세퍼 해밀 토니안을 갖는다. 여기서,$(q,v)$는$(y,y')$로 식별된다.

δ t = 2 π 의 stepize로 $t\in[0,2\pi]$ 위의 방법으로 IVP를 통합했습니다.$\delta t=\frac{2\pi}{N}$ 정수와$N$사이 어딘가에 선택$10$및$100$. 촬영leap2계정으로의 속도를, 나는 배$N$하는 방법에 대해. I는 위상 공간에서 생성 된 곡선을 플로팅으로 확대$(1,0)$ 곡선 이상적 다시 도착해야$t=2\pi$.

다음은 $N=12$ 및 $N=36$ 대한 플롯과 줌입니다 .

들면 $N=12$ , leap2 스텝 크기 $\frac{2\pi}{3N}$ 은 스텝 크기가2π 인ruth4 보다 집에 더 가까이 도착합니다.$\frac{2\pi}{N}$ . 들면$N=36$,ruth4승leap2. 그러나ruth4와 동일한 단계 크기를가진 ruth3은 지금까지 테스트 한 모든 설정에서 다른 것보다 훨씬 더 가깝습니다.

다음은 Python / Pylab 스크립트입니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def symplectic_integrate_step(qvt0, accel, dt, coeffs):
    q,v,t = qvt0
    for ai,bi in coeffs.T:
        v += bi * accel(q,v,t) * dt
        q += ai * v * dt
        t += ai * dt
    return q,v,t

def symplectic_integrate(qvt0, accel, t, coeffs):
    q = np.empty_like(t)
    v = np.empty_like(t)
    qvt = qvt0
    q[0] = qvt[0]
    v[0] = qvt[1]
    for i in xrange(1, len(t)):
        qvt = symplectic_integrate_step(qvt, accel, t[i]-t[i-1], coeffs)
        q[i] = qvt[0]
        v[i] = qvt[1]
    return q,v

c = np.math.pow(2.0, 1.0/3.0)
ruth4 = np.array([[0.5, 0.5*(1.0-c), 0.5*(1.0-c), 0.5],
                  [0.0,         1.0,          -c, 1.0]]) / (2.0 - c)
ruth3 = np.array([[2.0/3.0, -2.0/3.0, 1.0], [7.0/24.0, 0.75, -1.0/24.0]])
leap2 = np.array([[0.5, 0.5], [0.0, 1.0]])

accel = lambda q,v,t: -q
qvt0 = (1.0, 0.0, 0.0)
tmax = 2.0 * np.math.pi
N = 36

fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6, 6))
ax.axis([-1.3, 1.3, -1.3, 1.3])
ax.set_aspect('equal')
ax.set_title(r"Phase plot $(y(t),y'(t))$")
ax.grid(True)
t = np.linspace(0.0, tmax, 3*N+1)
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, leap2)
ax.plot(q, v, label='leap2 (%d steps)' % (3*N), color='black')
t = np.linspace(0.0, tmax, N+1)
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, ruth3)
ax.plot(q, v, label='ruth3 (%d steps)' % N, color='red')
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, ruth4)
ax.plot(q, v, label='ruth4 (%d steps)' % N, color='blue')
ax.legend(loc='center')
fig.show()

간단한 오류를 이미 확인했습니다.

• 위키 백과 오타가 없습니다. 특히 참조 ( 1 , 2 , 3 )를 확인했습니다.
• 계수 순서가 맞습니다. Wikipedia의 순서와 비교하면 운영자 응용 프로그램의 시퀀싱은 오른쪽에서 왼쪽으로 작동합니다. 내 번호는 Candy / Rozmus에 동의합니다 . 그럼에도 불구하고 다른 주문을 시도하면 결과가 악화됩니다.

내 의심 :

• 잘못된 단계 순서 : 아마도 루스의 3 차 체계는 묵시적 상수가 훨씬 더 작고, 단계 크기가 실제로 작 으면 4 차 방법이 이길까요? 그러나 나는 심지어 $N=360$ 시도했지만 3 차 방법은 여전히 ​​우수합니다.
• 잘못된 테스트 : 내 테스트에서 특별한 점이있어 Ruth의 3 차 방법이 고차 방법처럼 작동합니까?

$N$$N$

$$\epsilon(N) = \|\tilde z(2\pi) - \tilde z(0)\|_2 \quad\text{where}\quad \tilde z(t) = \left(\tilde{y}(t),\tilde y'(t)\right)$$ $\tilde z$

$4$$\frac{1}{100}$

흥미 롭군 다른 테스트를 시도하여 더 조사해야 할 것입니다.

그건 그렇고, 오류 플롯을 위해 Python 스크립트에 추가 된 내용은 다음과 같습니다.

def int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, coeffs):
    e = np.empty((len(Ns),))
    for i,N in enumerate(Ns):
        t = np.linspace(qvt0[2], qvt1[2], N+1)
        q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, coeffs)
        e[i] = np.math.sqrt((q[-1]-qvt1[0])**2+(v[-1]-qvt1[1])**2)
    return e

qvt1 = (1.0, 0.0, tmax)
Ns = [12,16,20,24,32,40,48,64,80,96,128,160,192,
      256,320,384,512,640,768,1024,1280,1536,2048,2560,3072]

fig, ax = plt.subplots(1)
ax.set_xscale('log')
ax.set_xlabel(r"$N$")
ax.set_yscale('log')
ax.set_ylabel(r"$\|z(2\pi)-z(0)\|$")
ax.set_title(r"Error after 1 period vs #steps")
ax.grid(True)
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, leap2)
ax.plot(Ns, e, label='leap2', color='black')
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, ruth3)
ax.plot(Ns, e, label='ruth3', color='red')
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, ruth4)
ax.plot(Ns, e, label='ruth4', color='blue')
ax.legend(loc='upper right')
fig.show()

$\ddot q=-q$$q(0)=1,\dot q(0)=0$

예상 한 바와 같이, 증가하는 서브-간격 수에 대한 그래프는 한계 오차 계수 인 한계 곡선에 점점 더 접근한다. 하나의 플롯을 제외하고는이 수렴이 눈에 띄게 빠르며, 발산이 거의 없습니다. 이는 비교적 큰 단계 크기에서도 선행 오류 항이 다른 모든 항을 지배한다는 것을 의미합니다.

$p$

$q$$t=2\pi$$p$

$q$$3\pi/2$

---

$\ddot q=-\sin(q)$$q(0)=1.3,~\dot q(0)=0$